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トレミーの定理で、4点が円周上にないとき、不等号が成り立つことを証明せよ。
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という証明問題で、頭を悩ませております。
似たような例が、ここ↓
http://homepage3.nifty.com/sugaku/toremi.htm
にも紹介されている気がするのですが、「4点は円周上にない」という条件に言及することなく証明が進んでいるようなので、この問題と同じように考えることが私にはできませんでして・・・解き方を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/01/28 08:24:05
  • 終了:2010/01/30 02:34:12

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4401ベストアンサー獲得回数4042010/01/28 10:29:00

ポイント100pt

 4点が円周上にある場合もない場合も、任意の場合について、

AB・CD+AD・BC≧AC・BD

が成り立つ証明が下記URLにあります。また、等号成立は、EがAC上にあるとき、このとき、∠ABD=∠ACDから、円周角の定理の逆より、4点ABCDが同一円周上にあるときですから、対偶をとって、円周上にないときは、等号は不成立で、不等号のみが成り立ちます。

AB・CD+AD・BC>AC・BD

●MUSIK -Music Room 音楽の部屋- トレミーの定理

「任意の四角形ABCDにおいて、

AB・CD+AD・BC≧AC・BD

が成り立つ」

等号成立は、AE+EC=AC、すなわちEがAC上にあるとき。

このとき、∠ABD=∠ACDから、円周角の定理の逆より、4点ABCDが同一円周上、

すなわち四角形ABCDが円に内接するときである。

http://penpenpensama.blog25.fc2.com/blog-entry-4.html

●円周角の定理の逆の証明

http://dac.gijodai.ac.jp/it-con/h16_sakuhin/ippan/ippan3/math/3g...

●円周角の定理の逆

http://www005.upp.so-net.ne.jp/mi_kana/story/enshukaku.pdf

id:moon-fondu

ありがとうございます、リンク先の説明を読み、ある程度理解できました(^_^;)

ただ、一つだけ疑問に思う箇所がありまして。

「・・・∠ABD=∠ACDから、・・・」と記載されていると思うのですが、どうして「∠ABD=∠ACD」なのでしょうか?

任意の四角形なので、常に「∠ABD=∠ACD」とは限りませんし・・・EがAC上にあるときなので、△ABE∽△DCEを証明すれば、「∠ABD=∠ACD」も導ける気はするのですが、私が思いつく限り、△ABEと△DCEに関しては、「対頂角は等しいので∠AEB=∠DEC」ぐらい共通点が思いつかず、相似条件を満たすことができません。

すいませんが、もしよろしければ、「どうして∠ABD=∠ACDなのか」について、再度お答えいただけないでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)

2010/01/29 03:03:08
  • id:rsc96074
    「EがAC上にあるとき、このとき、∠ABD=∠ACD」である理由
     Eを自ら定義して導入したとき、1番目のURLで、
    >>
    【More・・・】
    下の図のように、△DAB∽△DECとなるような点Eをとる。
    <<
    でしたから。また、EがAC上にあるとき、∠ECD=∠ACD。
  • id:moon-fondu
    なるほどです、「△DAB∽△DECとなるような点E」を取った時、もしEがAC上にあったら、△DAB∽△DECなので、∠ABD=∠ACDは成り立ちますね!
    ありがとうございます、初歩的な質問でお手を煩わせてしまいすいません(>_<)

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