トレミーの定理で、4点が円周上にないとき、不等号が成り立つことを証明せよ。
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という証明問題で、頭を悩ませております。
似たような例が、ここ↓
http://homepage3.nifty.com/sugaku/toremi.htm
にも紹介されている気がするのですが、「4点は円周上にない」という条件に言及することなく証明が進んでいるようなので、この問題と同じように考えることが私にはできませんでして・・・解き方を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします(>_<)
No.1
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100pt
4点が円周上にある場合もない場合も、任意の場合について、
AB・CD＋AD・BC≧AC・BD
が成り立つ証明が下記URLにあります。また、等号成立は、EがAC上にあるとき、このとき、∠ABD＝∠ACDから、円周角の定理の逆より、４点ABCDが同一円周上にあるときですから、対偶をとって、円周上にないときは、等号は不成立で、不等号のみが成り立ちます。
AB・CD＋AD・BC＞AC・BD
●MUSIK -Music Room 音楽の部屋- トレミーの定理
「任意の四角形ABCDにおいて、
AB・CD＋AD・BC≧AC・BD
が成り立つ」
等号成立は、AE＋EC＝AC、すなわちEがAC上にあるとき。
このとき、∠ABD＝∠ACDから、円周角の定理の逆より、４点ABCDが同一円周上、
すなわち四角形ABCDが円に内接するときである。
http://penpenpensama.blog25.fc2.com/blog-entry-4.html
●円周角の定理の逆の証明
http://dac.gijodai.ac.jp/it-con/h16_sakuhin/ippan/ippan3/math/3g...
●円周角の定理の逆
rsc
2010/01/29 06:37:58
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moon-fondu
2
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1
ありがとうございます、リンク先の説明を読み、ある程度理解できました(^_^;)
ただ、一つだけ疑問に思う箇所がありまして。
「・・・∠ABD＝∠ACDから、・・・」と記載されていると思うのですが、どうして「∠ABD＝∠ACD」なのでしょうか？
任意の四角形なので、常に「∠ABD＝∠ACD」とは限りませんし・・・EがAC上にあるときなので、△ABE∽△DCEを証明すれば、「∠ABD＝∠ACD」も導ける気はするのですが、私が思いつく限り、△ABEと△DCEに関しては、「対頂角は等しいので∠AEB＝∠DEC」ぐらい共通点が思いつかず、相似条件を満たすことができません。
すいませんが、もしよろしければ、「どうして∠ABD＝∠ACDなのか」について、再度お答えいただけないでしょうか？
よろしくお願いします(>_<)