微分の問題です。


「y=xの2乗」のグラフにおいて, x=1のときの平均変化率が2となるらしいのですが、
なぜでしょう?

個人的には,1だと思うのですが。2になる理由を説明してください。

回答の条件
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  • 登録:2010/07/02 15:27:11
  • 終了:2010/07/02 16:25:10

回答(4件)

id:sami624 No.1

sami624回答回数5245ベストアンサー獲得回数432010/07/02 15:49:53

ポイント23pt

仮に簡単化のため、x=1の地点の変化率ではなく、x=1とx=0,x=0.5,x=0.9,x=2.1,x=2.5,x=3と言う2点間の変化率を求めた場合、x=0と1の場合はxが1増えてyも1増えるので変化率は1。x=0.5と1の場合はxが0.5増えてyが0.75増えるので変化率は1.5。x=0.9と1の場合は同様に1.9xが0.1yが0.19増えるため。

x=1と2の場合はxが1増えてyが3増えるので変化率は3。x=1と1.5の場合は、xが0.5yが1.25増えるので変化率は2.5。x=1と1.1の場合はxが0.1でyが0.21なので2.1。それぞれの平均を取るとx=1の時の変化率は2となります。

変化率の幅を1近辺で小さくしていくと1→1.5→1.9と3→2.5→2.1と限りなく2に近づくためそうなります。

id:taku0208 No.2

taku0208回答回数250ベストアンサー獲得回数112010/07/02 15:54:54

ポイント23pt

y=x^2の平均変化率は、xがaからa+hに変化したときに、yがどれだけ変化するかを表したものです。

つまり、

x=aのときy=a^2

x=a+hのときy=(a+h)^2なので、

平均変化率は

{(a+h)^2-a^2}/h=(a^2+2ah+h^2-a^2)/h=2a+h

となります。

いま、a=1とすると平均変化率は、

2+h

となります。


微分値と平均変化率とを混同されているようですが、

平均変化率は、2+hで表される値です。

ここで増分hを限りなく0に近づけていったときの値が微分値です。

今の場合、2+hのhを0にすると2となります。

つまり、y=x^2のx=1における微分値は2となります。

(ちなみに、y=x^2の微分dy/dx=2xです。)

id:JULY No.4

JULY回答回数966ベストアンサー獲得回数2472010/07/02 16:09:55

ポイント22pt

x が 1 から 1 + d(d は任意の値)に変化したとき、y の値は 1 から (1 + d)2 に変化します。

という事は、変化率は、

\frac{(1+d)^2-1^2}{(1+d)-1}=\frac{1+2d+d^2-1}{1+d-1}=\frac{2d+d^2}{d}=\frac{2d}{d}+\frac{d^2}{d}

となります。

d を限りなく 0 に近づける、つまり、

\lim_{d\to\0}(\frac{2d}{d}+\frac{d^2}{d})

を求める、という事になりますが、こうなれば、

  • \frac{2d}{d}は 2 へ近づき、
  • \frac{d^2}{d}は 0 へ近づく

のは、直感的に分かるのではないでしょうか?

  • id:Vacuum
    なるほど、そうだったんですね。
  • id:drill256
    2かどうかはともかく、1より大きくなることはすぐ分かります。
    x=0の時の変化率は0ですよね。
    さて、(A)x=0~1の区間を(B)x=0~0.5と、(C)x=0.5~1の2つに区切ります。
    x=1の時の変化率が1だとすると、(B)、(C)ともに1より小さい値になりそうですよね。
    すると、
    ( (B)の変化率 + (C)の変化率 ) ÷ 2 < 1 ...(1)
    この式が成り立ちます。
    これは、変化率の平均を求めているのですが、
    ( (A)の変化率 ) ÷ 1 = ( (B)の変化率 + (C)の変化率 ) ÷ 2 ...(2)
    とならなければなりません。
    (A)の変化率は、
    (1^2 - 0^2)/(1-0)=1
    ですから、(2)の左辺は1です。
    すると(1)が成り立たないため、x=1の時の変化率が1という前提条件が間違っていることになります。
    また、(2)の右辺が1になるには、どちらかが1より小さく、どちらかが1より大きくなければならないことが分かるでしょう。

    1より大きいんだと言うことがわかれば、あとは
    じゃあ、いくつなんだ
    ということを考えればおのずと導けると思います。

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