「y=xの２乗」のグラフにおいて, x=1のときの平均変化率が２となるらしいのですが、
なぜでしょう？
個人的には,1だと思うのですが。２になる理由を説明してください。
No.1
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仮に簡単化のため、x=1の地点の変化率ではなく、x=1とx=0,x=0.5,x=0.9,x=2.1,x=2.5,x=3と言う2点間の変化率を求めた場合、x=0と1の場合はｘが1増えてｙも1増えるので変化率は1。x=0.5と1の場合はｘが0.5増えてｙが0.75増えるので変化率は1.5。x=0.9と1の場合は同様に1.9ｘが0.1ｙが0.19増えるため。
ｘ＝1と2の場合はｘが1増えてｙが3増えるので変化率は3。x=1と1.5の場合は、ｘが0.5ｙが1.25増えるので変化率は2.5。ｘ＝1と1.1の場合はｘが0.1でｙが0.21なので2.1。それぞれの平均を取るとx=1の時の変化率は2となります。
変化率の幅を1近辺で小さくしていくと1→1.5→1.9と3→2.5→2.1と限りなく2に近づくためそうなります。
No.2
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23pt
y=x^2の平均変化率は、xがaからa+hに変化したときに、yがどれだけ変化するかを表したものです。
つまり、
x=aのときy=a^2
x=a+hのときy=(a+h)^2なので、
平均変化率は
{(a+h)^2-a^2}/h=(a^2+2ah+h^2-a^2)/h=2a+h
となります。
いま、a=1とすると平均変化率は、
2+h
となります。
微分値と平均変化率とを混同されているようですが、
平均変化率は、2+hで表される値です。
ここで増分hを限りなく0に近づけていったときの値が微分値です。
今の場合、2+hのhを0にすると2となります。
つまり、y=x^2のx=1における微分値は2となります。
（ちなみに、y=x^2の微分dy/dx=2xです。）
No.4
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x が 1 から 1 + d（d は任意の値）に変化したとき、y の値は 1 から (1 + d)2 に変化します。
という事は、変化率は、
となります。
d を限りなく 0 に近づける、つまり、
を求める、という事になりますが、こうなれば、
のは、直感的に分かるのではないでしょうか？
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コメント（2件)
x=0の時の変化率は0ですよね。
さて、(A)x=0～1の区間を(B)x=0～0.5と、(C)x=0.5～1の2つに区切ります。
x=1の時の変化率が1だとすると、(B)、(C)ともに1より小さい値になりそうですよね。
すると、
( (B)の変化率 + (C)の変化率 ) ÷ 2 < 1 ...(1)
この式が成り立ちます。
これは、変化率の平均を求めているのですが、
( (A)の変化率 ) ÷ 1 = ( (B)の変化率 + (C)の変化率 ) ÷ 2 ...(2)
とならなければなりません。
(A)の変化率は、
(1^2 - 0^2)/(1-0)=1
ですから、(2)の左辺は1です。
すると(1)が成り立たないため、x=1の時の変化率が1という前提条件が間違っていることになります。
また、(2)の右辺が1になるには、どちらかが1より小さく、どちらかが1より大きくなければならないことが分かるでしょう。
1より大きいんだと言うことがわかれば、あとは
じゃあ、いくつなんだ
ということを考えればおのずと導けると思います。