数学の問題です。

「0°<θ<45°のとき、sinθ<cosθであることを証明せよ」という問題で頭を抱えています。
なんとなくsin0°=0、sin45°=1/√2で、cos0°=1、cos45°=1/√2なのは、 http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukansuunoshoho.html等のリンクを参考にして思い出せたのですが、いざ文章として解答を書くとなると、どういうふうに証明文を展開していけばよいか悩んでおりまして・・・いきなり単位円を書いて、

0°<θ<45°のとき、
sinθの値の範囲は、0<sinθ<1/√2
cosθの値の範囲は、1/√2<cosθ<1

よって、sinθ<cosθ

で、よいのでしょうか?
何か足りない気がするのですが・・・いちいち証明する必要もないぐらい有名なことだと思うのですが、もっと詳しく証明できるのであれば、その証明方法をお教えいただきたいです。
よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2011/08/11 04:31:27
  • 終了:2011/08/16 23:59:03

ベストアンサー

id:rsc96074 No.4

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032011/08/11 19:31:49

ポイント100pt

 不等式の証明ときたら、まず、(左辺)-(右辺)を考えます。チャート式のチャートや指針をよくよむと方針が立てやすくなります。

 他のやり方もありますが、たとえば、

(左辺)-(右辺)=sin[θ]-cos[θ]

=√[2]sin[θ-45°] ∵三角関数の合成公式

t=θ-45°とおくと、0°<θ<45°のとき、-45°<t<0°で、単位円から、

√[2]sin[t]<0

∴(左辺)-(右辺)<0

∴(左辺)<(右辺)

よって、0°<θ<45°のとき、

 sin[θ]<cos[θ]

※参考URL

●三角関数の合成公式

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/gouseikousiki.html

id:moon-fondu

ありがとうございます!

rscさんのご回答を参考に、詳しく書いてみました。

sinθ-cosθ

=sinθ+(-cosθ)

=√{1^2+(-1)^2}sin(θ-α)∵三角関数の合成公式

=√2sin(θ-α)

cosα=1/√{1^2+(-1)^2}=1/√2,

sinα=-1/√{1^2+(-1)^2}=-1/√2を満たすαは・・・

45°なのですよね?

√[2]sin[θ-45°]

になるということは。

ですがα=45°のとき、sinαもcosαも正の値を取ると思うので、sinα=-1/√2になるのはおかしい気がしまして・・・すみませんが、もしよろしければ、合成公式を用いた時のαの出し方について、再度ご回答いただけますでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)

2011/08/15 01:19:48

その他の回答(4件)

id:km1981 No.1

km1981回答回数429ベストアンサー獲得回数492011/08/11 09:38:42

ポイント50pt

いきなり答えを書いてもいいと思うのですが

もし心配だったらこうすればいいと思います

0°<θ<45°のとき、

sinθの値の範囲は、0<sinθ<1/√2

cosθの値の範囲は、1/√2<cosθ<1

すなわち

0<sinθ<1/√2<cosθ<1

よって

sinθ<cosθ

が成立する

id:moon-fondu

ありがとうございます、詳しくてわかりやすいです!

2011/08/15 01:09:57
id:Lhankor_Mhy No.2

Lhankor_Mhy回答回数779ベストアンサー獲得回数2312011/08/11 10:41:22

ポイント20pt

sinx<cosx

sinx-cosx<0

sinx-sin(x+pi/2)<0

2cos{(2x+pi/2)/2}sin{(x-x-pi/2)/2)}<0

2cos(x+pi/4)sin(-pi/4)<0

cos(x+pi/4)>0

 

これは0<x<pi/4で成り立つ。

 

 

 

追記:分かりづらいので、Texで書き直し。

sin(x)<cos(x)

sin(x)-cos(x)<0

sin(x)-sin(x+¥frac{¥pi}{2})<0

2cos(¥frac{x+x+¥frac{¥pi}{2}}{2})sin(¥frac{x-x-¥frac{¥pi}{2}}{2}))<0

2cos(x+¥frac{¥pi}{4})sin(-¥frac{¥pi}{4})<0

cos(x+¥frac{¥pi}{4})>0

 

これは0<x<¥frac{¥pi}{4}で成り立つ。

 

ラジアン角が分からない場合は、2π=360°と考えて下さい。

id:moon-fondu

「pi」とは何なのでしょうか?

また、cosχがsin(χ+π/2)になるのもよくわかりませんでして・・・(>_<)

2011/08/15 01:14:02
id:mirakurutoshiki No.3

mirakurutoshiki回答回数157ベストアンサー獲得回数32011/08/11 12:57:03

でも上のふたりともどっ

ちがあってるかわかりませんよ

たぶん僕も個上の人とおなじ答えだったので1個上の人があってるとおもいます。

id:rsc96074 No.4

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032011/08/11 19:31:49ここでベストアンサー

ポイント100pt

 不等式の証明ときたら、まず、(左辺)-(右辺)を考えます。チャート式のチャートや指針をよくよむと方針が立てやすくなります。

 他のやり方もありますが、たとえば、

(左辺)-(右辺)=sin[θ]-cos[θ]

=√[2]sin[θ-45°] ∵三角関数の合成公式

t=θ-45°とおくと、0°<θ<45°のとき、-45°<t<0°で、単位円から、

√[2]sin[t]<0

∴(左辺)-(右辺)<0

∴(左辺)<(右辺)

よって、0°<θ<45°のとき、

 sin[θ]<cos[θ]

※参考URL

●三角関数の合成公式

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/gouseikousiki.html

id:moon-fondu

ありがとうございます!

rscさんのご回答を参考に、詳しく書いてみました。

sinθ-cosθ

=sinθ+(-cosθ)

=√{1^2+(-1)^2}sin(θ-α)∵三角関数の合成公式

=√2sin(θ-α)

cosα=1/√{1^2+(-1)^2}=1/√2,

sinα=-1/√{1^2+(-1)^2}=-1/√2を満たすαは・・・

45°なのですよね?

√[2]sin[θ-45°]

になるということは。

ですがα=45°のとき、sinαもcosαも正の値を取ると思うので、sinα=-1/√2になるのはおかしい気がしまして・・・すみませんが、もしよろしければ、合成公式を用いた時のαの出し方について、再度ご回答いただけますでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)

2011/08/15 01:19:48
id:monoton No.5

mnt回答回数30ベストアンサー獲得回数22011/08/13 15:13:49

ポイント5pt

単位円 のグラフを書いておくとか。

0°<θ<45°では、x2 + y2 = 1について0<y/x<1 

※y/xはy=axの傾きなのでこれとの接点を考えると分かりやすいです

  • id:rsc96074
    45°じゃなくて、-45°です。たぶん。(^_^;
  • id:rsc96074
     まず、三角関数の合成というのは、加法定理を使って、a・Sin[θ]+b・Cos[θ]の形の式をr・Sin[θ+α]の形に変形することです。
     それから、答案に書くときは、下の2式からと書いていいと思いますが、実際にαを求めるときは、座標(a,b)=(1,-1)をグラフに描いてαを求めた方がわかりやすいと思います。
    Cos[α]=1/√[2]
    Sin[α]=-1/√[2]
  • id:moon-fondu
    りょうかいです!
    a・Sin[θ]+b・Cos[θ]の形の式にするため、sinθ-cosθを、sinθ+(-cosθ)の形に変えました。
    そして、α=-45°なので、加法定理「a・Sin[θ]+b・Cos[θ]=√a^2+b^2sin(θ+α)」を、sinθ+(-cosθ)に当てはめると、
    sinθ+(-cosθ)
    =√2sin(θ-45°)
    になりました!すみません、私の計算間違いでした(^_^;)
    rscさんありがとうございます!!

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