「0°<θ<45°のとき、sinθ<cosθであることを証明せよ」という問題で頭を抱えています。
なんとなくsin0°=0、sin45°=1/√2で、cos0°=1、cos45°=1/√2なのは、 http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukansuunoshoho.html等のリンクを参考にして思い出せたのですが、いざ文章として解答を書くとなると、どういうふうに証明文を展開していけばよいか悩んでおりまして・・・いきなり単位円を書いて、
0°<θ<45°のとき、
sinθの値の範囲は、0<sinθ<1/√2
cosθの値の範囲は、1/√2<cosθ<1
よって、sinθ<cosθ
で、よいのでしょうか？
何か足りない気がするのですが・・・いちいち証明する必要もないぐらい有名なことだと思うのですが、もっと詳しく証明できるのであれば、その証明方法をお教えいただきたいです。
よろしくお願いします。
No.4
4503
437
100pt
不等式の証明ときたら、まず、(左辺)－(右辺)を考えます。チャート式のチャートや指針をよくよむと方針が立てやすくなります。
他のやり方もありますが、たとえば、
(左辺)－(右辺)＝sin[θ]－cos[θ]
＝√[2]sin[θ-45°] ∵三角関数の合成公式
t=θ-45°とおくと、0°<θ<45°のとき、-45°<ｔ<0°で、単位円から、
√[2]sin[t]＜0
∴(左辺)－(右辺)<0
∴(左辺)＜(右辺)
よって、0°<θ<45°のとき、
sin[θ]＜cos[θ]
※参考URL
●三角関数の合成公式
No.1
42949
50pt
いきなり答えを書いてもいいと思うのですが
もし心配だったらこうすればいいと思います
0°<θ<45°のとき、
sinθの値の範囲は、0<sinθ<1/√2
cosθの値の範囲は、1/√2<cosθ<1
すなわち
0＜sinθ＜1/√2＜cosθ＜1
よって
sinθ＜cosθ
が成立する
ありがとうございます、詳しくてわかりやすいです！
No.2
814232
20pt
sinx<cosx
sinx-cosx<0
sinx-sin(x+pi/2)<0
2cos{(2x+pi/2)/2}sin{(x-x-pi/2)/2)}<0
2cos(x+pi/4)sin(-pi/4)<0
cos(x+pi/4)>0
これは0<x<pi/4で成り立つ。
追記：分かりづらいので、Texで書き直し。
これはで成り立つ。
ラジアン角が分からない場合は、2π＝360°と考えて下さい。
「pi」とは何なのでしょうか？
また、cosχがsin（χ+π/2）になるのもよくわかりませんでして・・・(>_<)
No.4
4503437
ここでベストアンサー
100pt
不等式の証明ときたら、まず、(左辺)－(右辺)を考えます。チャート式のチャートや指針をよくよむと方針が立てやすくなります。
他のやり方もありますが、たとえば、
(左辺)－(右辺)＝sin[θ]－cos[θ]
＝√[2]sin[θ-45°] ∵三角関数の合成公式
t=θ-45°とおくと、0°<θ<45°のとき、-45°<ｔ<0°で、単位円から、
√[2]sin[t]＜0
∴(左辺)－(右辺)<0
∴(左辺)＜(右辺)
よって、0°<θ<45°のとき、
sin[θ]＜cos[θ]
※参考URL
●三角関数の合成公式
ありがとうございます！
rscさんのご回答を参考に、詳しく書いてみました。
sinθ－cosθ
＝sinθ＋（－cosθ）
＝√{1^2+（－1）^2}sin（θ－α）∵三角関数の合成公式
＝√2sin（θ－α）
cosα＝1/√{1^2+（－1）^2}＝1/√2,
sinα＝－1/√{1^2+（－1）^2}＝－1/√2を満たすαは・・・
45°なのですよね？
√[2]sin[θ-45°]
になるということは。
ですがα＝45°のとき、sinαもcosαも正の値を取ると思うので、sinα＝－1/√2になるのはおかしい気がしまして・・・すみませんが、もしよろしければ、合成公式を用いた時のαの出し方について、再度ご回答いただけますでしょうか？
よろしくお願いします(>_<)
No.5
302
5pt
単位円 のグラフを書いておくとか。
0°<θ<45°では、x2 + y2 = 1について0＜y/x＜1
※y/xはy＝axの傾きなのでこれとの接点を考えると分かりやすいです
rsc
2011/08/16 17:40:03
236
235
moon-fondu
2
1
1
ありがとうございます！
rscさんのご回答を参考に、詳しく書いてみました。
sinθ－cosθ
＝sinθ＋（－cosθ）
＝√{1^2+（－1）^2}sin（θ－α）∵三角関数の合成公式
＝√2sin（θ－α）
cosα＝1/√{1^2+（－1）^2}＝1/√2,
sinα＝－1/√{1^2+（－1）^2}＝－1/√2を満たすαは・・・
45°なのですよね？
√[2]sin[θ-45°]
になるということは。
ですがα＝45°のとき、sinαもcosαも正の値を取ると思うので、sinα＝－1/√2になるのはおかしい気がしまして・・・すみませんが、もしよろしければ、合成公式を用いた時のαの出し方について、再度ご回答いただけますでしょうか？
よろしくお願いします(>_<)