高校数ⅢCを復習しています。媒介変数tを使って、X=f(t),Y=g(t)で表されるX,Yについて、2階(あるいは2次)導関数についての質問です。dY/dt=g'(t),dX/dt=f'(t)としますと、1次導関数dY/dX=(dY/dt)/(dX/dt)=g'(t)/f'(t)=g'/f'(と略記)となると思います。ある方から、問題の2階導関数は、d^2Y/dX^2=d{(dY/dt)/(dX/dt)}/dt(?)と教わり、これをf,gで書き換えると、上式=d(g'/f')/dt=(g''f'-g'f'')/(f')^2。一方「媒介変数微分」で検索すると、例えばhooktail.maxwell.jp/bbslog/11117.html や

okwave.jp/qa/q1858395.htmlなどのサイトを見ますと、d^2Y/dX^2=[d{(dY/dt)/(dX/dt)}/dt][dt/dX]=d{g'/f'}/dt]/f'=(g''f'-g'f'')/(f')^3 になるように思います。どちらが正しいのでしょうか?

回答の条件
  • 1人3回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2011/11/16 18:11:28
  • 終了:2011/11/23 18:15:03

回答(2件)

id:yo-kun No.1

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302011/11/17 12:44:19

ポイント50pt

正しいのは後者です。

>d^2Y/dX^2=d{(dY/dt)/(dX/dt)}/dt(?)と教わり
これが間違っています。

d^2Y/dX^2とはd(dY/dX)/dXのことなのですから
d^2Y/dX^2=d{(dY/dt)/(dX/dt)}/dXとならねばなりません。

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4359ベストアンサー獲得回数3982011/11/20 00:14:59

ポイント50pt

f^{¥prime}=f^{¥prime}(t)=¥frac{dX}{dt},

g^{¥prime}=g^{¥prime}(t)=¥frac{dY}{dt},

Y^{¥prime}=y=¥frac{dY}{dX}=¥frac{g^{¥prime}}{f^{¥prime}}
とすると、
¥frac{d^{2}Y}{dX^{2}}=¥frac{d}{dX}(¥frac{dY}{dX})=¥frac{dy}{dX}=¥frac{¥frac{dy}{dt}}{¥frac{dX}{dt}}=¥frac{¥frac{1}{dt}(¥frac{g^{¥prime}}{f^{¥prime}})}{f^{¥prime}}=¥frac{¥frac{g^{¥prime¥prime}f^{¥prime}-g^{¥prime}f^{¥prime¥prime}}{f^{¥prime2}}}{f^{¥prime}}=¥frac{g^{¥prime¥prime}f^{¥prime}-g^{¥prime}f^{¥prime¥prime}}{f^{¥prime3}}
∴後者が正しいと思います。

  • id:tdoi
    ある方から教わったことが正しいと考えている根拠はあるのですか?

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません