土日、深夜に当日に振り込みができると聞いたのですが、

ネットバンキングで対応している銀行があります。

たとえばジャパンネット銀行間であれば、24時間365日、即時入金となります。
http://www.japannetbank.co.jp/service/payment/bal_remittance/index.html

http://www.jp-bank.japanpost.jp/direct/pc/what/dr_pc_wh_index.html
ゆうちょ銀行間でしたらゆうちょダイレクトを使えば即時入金されます。
>送金は即時に処理します

ゆうちょダイレクトの電信振替なら、ゆうちょ銀行の口座へ、その瞬間に入金します。翌日扱いにはなりません。

セブンイレブンのａｔｍから２０時過ぎに郵貯のカードで入金しました。

自身の口座でしたが翌日の電話代金の引き落としに間に合っていました。

手数料は２１０円取られましたが、引き落とし不可の履歴をつけられず

助かりました。

少し趣旨が違いますが同じような場面は数回ありました。都度助かっています。

失礼します。

それは多分ゆうちょ、もしくはジャパネット銀行のネット銀行間振込みの事を聞いたのだと思いますよ。あとは思い当たるのは楽天銀行（ネット）も可能だったかな？

【他行への振込み】
Ｘ銀行のＡさんの口座から、Ｙ銀行のＢさんの口座に振り込むとき、
Ｘ銀行とＹ銀行のやり取りは、全銀システムというシステムを通して
日本銀行の口座を経て振込みを行っているため、全銀システムが動い
ていない、夜間や土休日は、行うことができません。

詳しくは、「全銀ネット」や、「内国為替取引」などでググってみて
ください。

【同行内振込み・振替え】
Ｘ銀行のＡさんの口座から、同じＸ銀行のＣさんの口座に振り込む場合、
これは、Ａ銀行さえ対応していれば、土日や夜間に振り込むことが　
可能です。

既に挙げられていますが、ネットバンクのジャパンネット銀行、
楽天銀行などで可能です。