結婚についての質問です。

＞しかしこれが成人同士の結婚となると双方の家族の承認は必要なのでしょうか？

許諾は不要です。

＞彼女側の親が結婚を反対してるのに結婚は可能でしょうか？

法律的にすることは可能でしょう。
ただ邪魔は されるでしょうけどね。

金銭的な面は あちら側の問題でしょう。
生活（食べていける）していけている状態ならば 特に文句をいうこともないとは思いますが・・・。

どこかの質問スレで未成年と結婚するには親の了承が必要と拝見しました。

民法第737条第1項及び第2項に未成年者の婚姻に関する規定があります。

（未成年者の婚姻についての父母の同意）

第737条　未成年の子が婚姻をするには、父母の同意を得なければならない。

２　父母の一方が同意しないときは、他の一方の同意だけで足りる。父母の一方が知れないとき、死亡したとき、又はその意思を表示することができないときも、同様とする。

通常は婚姻届を市区町村役場に提出する際、未成年者の父母のどちらかの同意した事を証明する書類（同意書又は婚姻届の備考欄に「未成年の婚姻を承諾する」という文言と父母（父又は母だけでも可）の署名捺印）を一緒に提出する事になります。
（本籍地の市区町村以外の役所で婚姻届を提出する場合は、戸籍謄本（戸籍全部事項証明書）又は戸籍抄本（戸籍個人事項証明書）が必要です。　詳しくは提出先の市町村役場・戸籍担当部署でお聞きください。）
同意書は市区町村役場に備えてありますので、婚姻届を取り寄せる時に一緒に受け取って下さい。
（同意書の書式が自由の場合は、神奈川県相模原市のHP（未成年でも婚姻届を出すことができますか。）にある同意書（PDF）をお使いください。）

しかしこれが成人同士の結婚となると双方の家族の承認は必要なのでしょうか？

民法第737条第1項の規定は、未成年者のみに適用されるものなので、成人同士の結婚の場合は父母の同意は必要ありません。

法律的にはどうなのでしょう。彼女側の親が結婚を反対してるのに結婚は可能でしょうか？

彼女の親の一方（父又は母）が婚姻に同意している場合は、婚姻は可能です。
両親が婚姻に同意していない場合は、彼女が成人になるまでは婚姻は不可能です。
（婚姻の同意書が無い場合は、婚姻届が受理されません。）

彼女は、１８で働き始め働いてすぐに車を親に購入させられ（本人はペーパー。現在も車の運転は一切しない。）さらには、親が新居を購入するにあたって彼女の給料をほぼ、新居購入に充てようとしています。親はそのお金を使っているから知りませんが、パチンコやスロットによくいっています。

彼女が成人になるまでは、両親（親権者）に彼女の財産を管理する権利（親権のひとつ、財産管理権　民法第824条）があります。

（財産の管理及び代表）

第824条　親権を行う者は、子の財産を管理し、かつ、その財産に関する法律行為についてその子を代表する。ただし、その子の行為を目的とする債務を生ずべき場合には、本人の同意を得なければならない。

彼女が成人になると両親の財産管理権は消滅しますし、未成年でも婚姻をすると法律的には成人と見なされますので（成年擬制 民法第753条、同じく両親の財産管理権は消滅します。
（注）成年擬制は民法上の権利義務に関する事なので、他の法令には適用されない場合があります。（成年擬制で成年と見なされても、飲酒や喫煙は満20歳までは禁止ですし、自動車運転免許などの年齢制限も同様です。）

（婚姻による成年擬制）　
第753条　未成年者が婚姻をしたときは、これによって成年に達したものとみなす。

彼女は、祖母にこの件を相談したみたいなんですが、母親が祖母に嘘をついて、もらったお金は貯金していると嘘をついているみたいなんです。これは何か犯罪などのものではないのでしょうか？どうにかして親から離れさせる方法はないのでしょうか？親子の縁を切ることはできるんでしょうか？

残念ながら、彼女の両親に親権（財産管理権）がある限り、彼女の財産を両親が処分をしても犯罪には問われません。
（民法第824条の但し書きにより、両親に対して彼女の財産を勝手に使い込んだ事による損害賠償を請求する事、両親による彼女の財産の処分を禁止する事を裁判所に訴える（民事訴訟）事はできますが、親族間の事なので実際には不可能でしょう。
それよりも彼女が成人になるのを待って、彼女の財産を個人管理にする方が適切な方法だと思います。
（彼女と結婚すれば、世帯が分離されますので彼女の財産を父母が勝手に処分する事ができなくなります。）