中学生が有料ライブチャットでお金を稼ぐことは違法ですか？

違法です。
【風俗営業等の規制及び業務の適正化等に関する法律】で、18歳未満の者を従事させる事はできない事になっています。
ライブチャットは、『面識のない異性との一時の性的好奇心を満たすための交際（会話を含む。次項において同じ。）を希望する者に対し、会話（伝言のやり取りを含むものとし、音声によるものに限る。以下同じ。）の機会を提供することにより異性を紹介する営業』に該当するはずですが、店舗型、無店舗型問わず規制されています。
従事した者への罰則については調べていませんので不明ですが、罰則は第七章で規定されています。

http://law.e-gov.go.jp/htmldata/S23/S23HO122.html
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第一章　総則
第二条
５ 　この法律において「性風俗関連特殊営業」とは、店舗型性風俗特殊営業、無店舗型性風俗特殊営業、映像送信型性風俗特殊営業、店舗型電話異性紹介営業及び無店舗型電話異性紹介営業をいう。

９ 　この法律において「店舗型電話異性紹介営業」とは、店舗を設けて、専ら、面識のない異性との一時の性的好奇心を満たすための交際（会話を含む。次項において同じ。）を希望する者に対し、会話（伝言のやり取りを含むものとし、音声によるものに限る。以下同じ。）の機会を提供することにより異性を紹介する営業で、その一方の者からの電話による会話の申込みを電気通信設備を用いて当該店舗内に立ち入らせた他の一方の者に取り次ぐことによつて営むもの（その一方の者が当該営業に従事する者である場合におけるものを含む。）をいう。
１０ 　この法律において「無店舗型電話異性紹介営業」とは、専ら、面識のない異性との一時の性的好奇心を満たすための交際を希望する者に対し、会話の機会を提供することにより異性を紹介する営業で、その一方の者からの電話による会話の申込みを電気通信設備を用いて他の一方の者に取り次ぐことによつて営むもの（その一方の者が当該営業に従事する者である場合におけるものを含むものとし、前項に該当するものを除く。）をいう。

第四章　性風俗関連特殊営業等の規制
第一節　性風俗関連特殊営業の規制
第四款　店舗型電話異性紹介営業の規制
第三十一条の十三
２ 　店舗型電話異性紹介営業を営む者は、次に掲げる行為をしてはならない。
一 　当該営業に関し客引きをすること。
二 　当該営業に関し客引きをするため、道路その他公共の場所で、人の身辺に立ちふさがり、又はつきまとうこと。
三 　営業所で十八歳未満の者を客に接する業務に従事させること。
四 　十八歳未満の従業者を第二条第九項の規定によりその機会を提供する会話の当事者にすること。
五 　十八歳未満の者を営業所に客として立ち入らせること。
六 　営業所で二十歳未満の者に酒類又はたばこを提供すること。
七 　十八歳未満の者からの第二条第九項に規定する会話の申込みを取り次ぐこと。

第五款　無店舗型電話異性紹介営業の規制
第三十一条の十八
２ 　無店舗型電話異性紹介営業を営む者は、次に掲げる行為をしてはならない。
一 　十八歳未満の従業者を第二条第十項の規定によりその機会を提供する会話の当事者にすること。
二 　十八歳未満の者からの第二条第十項に規定する会話の申込みを取り次ぎ、又は同項に規定する会話の申込みを十八歳未満の者に取り次ぐこと。

ライブチャットは「風俗営業等の規制及び業務の適正化等に関する法律」第31条の7から11に規定されている「映像送信型性風俗特殊営業」に該当します。
（同条の12から16に規定されている「店舗型電話異性紹介営業」はいわゆる「テレホンクラブ」、同条の17から21に規定されている「無店舗型電話異性紹介営業」は、「音声又はテキストを用いたアダルトチャット」に該当します。）

なお18歳未満の年少者がライブチャットを利用した際の罰則はありません。
（ただし、18歳未満の年少者が利用している事を知っているにも関わらず、それを黙認した場合し、かつ都道府県の公安委員会の改善命令に従わなかった場合は、一年以下の懲役若しくは百万円以下の罰金、又は併科が科せられます。　第50条第7項）


年少者のライブチャットの利用については、風俗営業等の規制及び業務の適正化等に関する法律では取り締まる事ができませんが。利用が発覚した場合は非行事実として補導される場合があります。

個人がどのように働くつもりでいるかは関係ありません。
業種として禁止されていますので駄目です。
日本の法律が適用されない場合でも、協力体制を取る事により何らかの措置を講じると思います。
また、現状では青少年は保護対象であり、罰則等を科せられるのは雇用者となっているようですが、法律の適用対象外である事を利用して働いた場合、補導される可能性があります。