法律に関する質問です。

遅いかもしれませんが

仕事内容が「書類を丸々コピーして日付を変える」ということですので、質問者様としては「日付の変わった書類」となっていることを契約の目的としていたという事でよろしいでしょうか？
「質問者様の意図に沿って、日付を変えること」が契約の目的とすれば、その契約は請負契約と考えられることになると思います。
ただ、「契約者の合意取り付け」も具体的に出てきておりますので、こちらの点をどのくらい重く見るかで場合によっては準委任として扱われるかもしれません。
請負契約の場合は先の回答者様のようになります。
準委任の場合は、契約内容次第とだけ述べておきます。

なお、「期日までに仕事が終了しませんでした」とあることから、質問者様は一定の期日を定めていたと考えます。
そうであれば、質問者様が、相手方の履行遅滞を理由に何らかの損害賠償請求や契約の解除をする余地は十分ありえます。
もしその期日までに履行されなければ絶対に意味がないといった場合には、履行不能として扱われます。効果は履行遅滞と同様と考えて下さい。

いずれにせよ(請負or準委任、履行遅滞or不能)、相手方に過失がある場合は、質問者様が何かしら請求することはあっても、契約書に「出来高払い」のような記載がない限り、相手方が質問者様にお金を請求できることはありません。

ただ、現状既に訴訟をせざるを得ない状況とのことですので、弁護士に３０分や１時間でも法律相談をして、場合によっては依頼をするべきでしょう。
ご本人で訴訟される場合、質問者様の負担であると同時に、訴訟を何ら経験したことのない人を相手とする相手方の負担にもなりますので。