自尊心と自負心の違いってなんですか？

自尊心とは、自らをたっとぶ心。自分を大事にしようということです。あまり自尊心がたかくてまわりをみさげるようなことさえしなければ悪いものではありません。
自負心は、自らに（責任を）おう心。古い言葉で「しょってる」というのがありますが、たとえば周りのことは全部自分に責任があるとおもいこむような心です。これはマンガででてくるイケメンがわかりやすい。
「あの子みてごらん、ぼーっとしてるだろう。俺のせいだよ、あまりにイケメンだから見とれてるんだ」
「この仕事は俺にしかできない！　俺がやらなきゃだれがやる」
そんな感じ。
「自信」とよく似ていて、適度な自負心は必要なのですが、本来関係ないところまで責任を負いすぎるのはおかしいという意味も含んでいます。自分自身にかける期待が大きすぎる状態は、ちょっと「中二病」とも重なるかもしれません。
ですので、自尊心と自負心は言葉とイメージがちょっとだけ違いますが、まあ内容はほとんど同じだといってもいいでしょう。
　
英語ではプライドとはまた別の言葉もありますし、プライドは日本語ではどちらかというと自尊心ですがそれとも重ならない使い方もあったりするので（愛国心とか、体面やメンツみたいな方面にも使う）、英語なりの正しい使い方をおぼえていってください。