私は、現在求職中の者です。

特定派遣は、派遣元会社に直接雇用されるので、派遣先に紹介（それ自体違法ですけどね）とかされる事はありません。
雇用されたあとに、どこへ行く？という事で派遣先を回る事はあるかもしれませんが。
派遣先ごとに特定だったり一般だったり変わる事は有り得ません。
ですから最初から一般派遣なのは明確です。

で、どうするか？ですが、当然に直接雇用を探す方が良いに決まってます。ただ、せっぱ詰まっているなら派遣でお茶を濁しつつ、仕事を探すしかないでしょう？
あなたの状況次第です。

＞やりたい仕事であるならば、派遣で仕事をしつつ正社員の職を探した方が良いか、・・・
　兎に角、仕事をしていることが良いと思います。
　気持ちの麺でも安定しいます。
　経験の積み重ねもできます。
　派遣先での評価が良ければ、継続もあります。

　仕事をしながら、余裕を持って良い出会いを見つけるのが良いと思います。

今、求職中なんだから、とりあえず スキルアップだね。

業務経験が増えれば、より自分のやりたい仕事に就職できるはず。
ただ、スキルアップは急いでね。
年齢が高くなっちゃうと 就職は 難しくなっちゃうから。