次の条件を満たすフォームメールのプログラムを探しています。

どんぴしゃではありません。妥協が可能であれば
無料で簡易的？なものなら Google Driveのフォームが使えます。

△　フォームメールのCGI/PHP　
　（専用のスクリプト Google apps script）
○　フォームメールで入力・送信された内容が管理画面で確認できる。
　（スプレッドシートで確認可能）
○　管理画面で（入力・送信された）各レコードにメモ(テキスト)を付与できる。
○　そのメモの内容も含め、全件をCSVエクスポート出来る。
△　フォームのデザインはオリジナルのHTMLを適用出来る。
　　もしかしたら修正できるような気がします。
どこまでオリジナルを求めるかによるかと思います。
×　ダウンロード型希望・クラウド型は不可。
○　有料の場合は値段は（1ライセンス）10万円以内。

ここのサイトがメール送信する場合は参考になるかもしれません
http://creazy.net/2011/03/google_form_mailsend.html

※何しろ無料ですので、どこまで耐久性のあるものかはわかりません。

PHP、CSV出力、メモ機能、独自デザインのメールフォーム1ライセンスに10万円も出せるのであれば、いっそのこと丸ごと制作してもらった方がいいかもしれません。
http://www.cliptoweb.jp/program/mf.html

メールフォームCGIをお試しください。無料です。
http://www.synck.com/contents/download/cgi-perl/mailform_jcode.html

下記は如何でしょうか？
http://www.chama.ne.jp/download/mail/chamamail3/index.htm
入力内容のメモは出来ないようですが、その他は対応しているようです。
複数の入力フォームも可能ですし、会員機能なども付いています。
予算よりかなり安いです。

http://editlife.blog28.fc2.com/blog-entry-462.html

こちらはどうでしょうか。