正月に神社近くの旅館に泊まりたいと思いますが

愛知県の豊川稲荷すぐ近くの「料理旅館　伊勢屋本店」はいかがでしょう？
楽天トラベルで見た限り空きがあるようです。
ホテルはダメなんですよね。
ホテルでよければ愛知県の熱田神宮近くのところなどもあるんですけど・・・

伊勢神宮の近くにあります山田館はどうでしょう
http://www.ise.ne.jp/yamadakan/

http://ja.wikipedia.org/wiki/Category:%E4%B8%89%E9%87%8D%E7%9C%8C%E3%81%AE%E7%A5%9E%E7%A4%BE
前日は松坂で松坂牛を食べて、早朝は隣市の伊勢に出向くというのはどうでしょう。
人が多そうでも、三重県には神社が多いですので、人が少ないところを見つくろうことができます。
http://www.jalan.net/uw/uwp1400/uww1400.do?stayYear=2013&stayMonth=12&stayDay=31&stayCount=2&roomCount=1&adultNum=2&minPrice=0&maxPrice=999999&lrgCd=240800&rootCd=04&distCd=01&roomCrack=200000&reShFlg=1&mvTabFlg=0&listId=2&childPriceFlg=0&screenId=UWW1402
とかけっこうありそうです。

http://www.hongu.jp/
http://www.hongu.jp/access/areamap/
和歌山・熊野の温泉旅館はどうでしょうか。

三重の旅館

愛知県新城市の旅館翆明はまだ予約が取れるみたいです。
http://www.yukoyuko.net/2323/
近所に愛宕神社があります
http://www.aichiyama.com/SAO005.html

江ノ島の紀伊国屋旅館もまだ予約が取れそうです。
http://www.kinokuniyaryokan.com/index.html
近くに江ノ島神社があります。
http://www.kinokuniyaryokan.com/area_guide.html
http://www.enoshimajinja.or.jp/index.html

http://www.yukoyuko.net/yado-area/L08/?cid=aw_pc_00_li_11_00168439
こちらが参考になると思います。

雄琴温泉（おごと温泉）【里湯昔話　雄山荘】公式ＨＰ