AさんはX社に正社員として就業していたが、

どういう雇用形態から 請負に変更するのかが不明ですね。

＞株式会社として独立して、以前勤めていた会社から同じ業務を請け負うという

それがそのまま答えです。
株式会社の設立方法でも知りたいという事ですか？
手続きという事に限定すればそれだけの事ですし、特殊な業務なら他に会社設立と業務のための許認可手続き等が必要なだけです。
ただ、実際に仕事を請け負うとなると、当然に相手会社から仕事をもらえなければ成立しません。そこは手続きではなく、契約、交渉となりますので、これ、という答えはありません。
独立しました、起業、脱サラなんていうHPやブログは山ほどありますが、
http://business.nikkeibp.co.jp/article/NBD/20121026/238610/?ST=pc&bpnet
はっきり言ってこれに尽きます。

正社員から 請負の変更の場合、雇用保障がないということですね。

つまり、いつ仕事がなくなるのか わからない状態になるということです。

あと 保険とかもないですし。

ま、国保に切り替えればいいだけのことですが。

このような形態の「実例」を具体的に知りたいのです

拾っていけばどんどん出てきますが。
http://ameblo.jp/hatu-halu/entry-11603775802.html
http://hierophilia.blog72.fc2.com/
http://blog.goo.ne.jp/cv91if/c/28dddb4b980f6343f465c7b8ed6e9431

独立して
元の会社から同じ業務を請け負う
形態ですよ

実態としては同じ事ですよ。
http://blogs.bizmakoto.jp/kami/entry/5009.html

その手続きの具体的な流れを詳しく知りたいのです

特定のものはありません。
基本的には、退職して、会社と（元のでも新規でも）請負なり業務委託なりの契約を結んで仕事をするだけの事です。
自身で個人事業主としてでもいいし、株式会社にしてもいいし、どうにでもできます。
大事なのは仕事を取れるかどうかの問題です。
偽装請負状態になって不利なのは労働者なので、当人がそれで良いなら構いません。
個別の詳細となると多岐に渡りますし、業務内容などでも変わってきます。全てを網羅するとなると本が数冊書けると思います。