複数あるフォームで指定のフォームをローカルストレージに入れるにはどうすればいいでしょうか？

「同じ形のフォームが複数あって、クリックした要素が含まれているフォームの値を取り出したい」のだと、脳内で変換しました。

<form name="form1">
    <input type="hidden" value="テスト1"> <!-- id 削りました -->
    <a href="#" class="register">登録</a> <!-- onclick ではなく、class を指定 -->
</form>
<form name="form2"> <!-- form の名前と、input の value だけが違います -->
    <input type="hidden" value="テスト2">
    <a href="#" class="register">登録</a>
</form>
<form name="form3">
    <input type="hidden" value="テスト3">
    <a href="#" class="register">登録</a>
</form>


<script type="text/javascript">

/*
    class="register" な要素に処理を登録
 */
$(".register").click(function(event) {

    // クリックされた要素のひとつ前を取り出す
    var e = $(this).prev();

    // ひとつ前の要素の value 属性を確認
    alert(e.val());


    /*
        ローカルストレージに入れるなり、何なり...
    */


    // Aタグのデフォルトの動作を無効にする
    event.preventDefault();

});

</script>

この範囲であれば、フォームの name もユニークにする必要はないです。

form内にidが複数ある場合はどうすればいいでしょうか？

クリックした要素の親から、その子供を取得します。
こんな感じ。

<form name="form1">
<input id="postid1" type="hidden" value="テスト11">
<input id="postid2" type="hidden" value="テスト12">
<input id="postid3" type="hidden" value="テスト13">
<a href="#" class="register">登録</a> <!-- 最後が <a> になってたのが地味に罠です　:-)  -->
</form>
<form name="form2">
<input id="postid1" type="hidden" value="テスト21">
<input id="postid2" type="hidden" value="テスト22">
<input id="postid3" type="hidden" value="テスト23">
<a href="#" class="register">登録</a>
</form>

<form name="form3">
<input id="postid1" type="hidden" value="テスト31">
<input id="postid2" type="hidden" value="テスト32">
<input id="postid3" type="hidden" value="テスト32">
<a href="#" class="register">登録</a>
</form>

<script type="text/javascript">

$(function() {

    /*
        class="register" な要素に処理を登録
    */
    $(".register").click(function(event) {

        // クリックされた親の要素（フォーム）
        var f = $(this).parent();

        // フォームの子供で、type="hidden" な INPUT を取り出す
        var obj = {}
        $("input[type='hidden']", f).each(function() {
            obj[ this.id ] = $(this).val();
        });

        // JSON 形式の文字列にする
        var data = JSON.stringify(obj);

        // データを確認
        console.log(data);

        // データを保存
        localStorage.setItem("form_data", data);

        // Aタグのデフォルトの動作を無効にする
        event.preventDefault();
    });

});
</script>

最初に質問に書かれたコードを尊重して、データを JSON 形式の文字列でストレージに保存していますが、それぞれの ID をキーにして保存したいのであれば、子要素をたどるところをこんな感じに。

        // フォームの子供で、type="hidden" な INPUT を保存する
        $("input[type='hidden']", f).each(function() {
            localStorage.setItem(this.id, $(this).val());
        });