トーハツ２馬力船外機について

船外機はさっぱり分かりませんが、産業用小型4stエンジンとほぼ同じだと思います。
アイドリングは問題ない、回転上昇後に止まるという事なので、基本的な部分での問題ではないと思います。
考えられる所をいくつかあげてみると
キャブ、メイン流路のつまり、ないし水等混入。（燃料タンクも）
点火系にしぶきなどがかかってのリーク。
などが思い浮かびます。
まずは陸上で十分テストして下さい。
プロペラとかの構造は全く知りませんから、そっちで引っかかっているなどなら分かりません。
海へ出る時は小さな帆があると便利かと。（省エネにもなりますし）

燃料タンクキャップについているエアーベントスクリューがちゃんと開いた状態になっているなら、状況から考えるとキャブ（キャブレーター）のエアスクリューの調整が必要だと思います。

船外機は良く知りませんが、バイクで同じ状況になったときには、まずキャブのエアスクリューを調整するのが定番ですが、無いタイプもあります。

◆エアスクリューがあるタイプ
エンジンをかけた状態でエアスクリューを少しずつ回して調整します。１回転半以上開閉どちらかに動かしてもおかしい状態が続くなら、他の原因を考えなくてはなりませんが、おそらくエアスクリューの調整不足だと思います。エアスクリューが無い、あるいは調整しても同じなら↓のチェックをしてみてください。

◆エアスクリューが無いタイプ
ガソリンの供給量が不足しているのが原因だと思いますから、燃料系のどこかが目詰まりしていることを疑う必要があると思います。もしくはキャブの燃料カップに水がたまっていることなどが疑われます。これらの問題の場合には、分解して掃除する事になります。

船外機は良く分かりませんが、エンジン単体で見ればバイクや自動車と同じだと思います。

プラグが汚れてるんじゃないでしょうか。
で、かぶって点火しなくなっちゃう。

プラグを確認してみて、汚れてたら交換。

60時間程度で、かからなくなるほど汚れてしまうのは、ちょっと考えにくいから、

• 中古で手に入れて、プラグを交換してない
• ちゃんとしたオイルを使ってないか、混合比が悪い

というところが怪しいと。

マリンオイルは純正じゃなくても良いから、きちんとしたメーカーのものを使って、取説通りの混合比か、それよりもガソリンの比率をちょっと低めにするんだとか。

＃ 釣りをやってる人からの受け売りだということは、内緒だ