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前後の文脈次第ですが、濁り酒のように、やや濁っていて、内容物が沈殿するようなものを飲んでいるのだと思います。
ちょっと飲みにくい感じの飲み物なのでしょうか。
上澄みだけではなく、底の方に溜まっている澱（おり）まで飲み干す、というような。
おり【×澱／×滓】
おり【澱／滓】の意味 - 国語辞書 - goo辞書
１ 液体の底に沈んだかす。おどみ。
２ すっきりと吐き出されないで、かすのようにして積もりたまるもの。「心にたまった―」
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↑上記の意味と、要求を受け入れる意味の「飲む」を掛けて、
2014/04/01 13:54:29《受け入れがたいイヤな条件も含めて、相手の言い分をすべて承諾する》ということかもしれませんね。
「バラ売りはしない。セットなら売ってもいい。付け値の倍額で、送料と手数料もそっち持ちだ」
「しかたない。どうしても欲しい品なんだ。澱まで飲むよ。売ってくれ」
ご回答有難うございました。よく解るご回答です。
2014/04/01 15:21:09