IMAPによる一つのアカウントを複数人（複数デバイス）で使用したときに接続上限に達してしまい接続できなくなる場合が頻発する

現在10つのメールアカウントを5人（5つのデバイス）でIMAPによる接続で利用しています。
最近人数が増え、接続上限に達し一時的に利用できなくなる事が頻発し、非常に効率が悪くなっています。レンタルサーバーを利用しており、接続上限の変更はできません。

そこで、どのデバイスからアクセスしてもメールが同期されていること、今後も利用人数は増えること、Webメールではなくクライアントソフト(Thunderbird等)で使えることを必須条件としたメールの使い方として、いい方法がありましたら教えてください。

・ここのメールサーバーをレンタルすれば解決
・そもそもその使い方にはIMAPは向いていない
などなど

よろしくお願いします。