独自ドメインを取得してサーバーに設定した場合、サイトのURLになるのは、独自ドメインの方のURLになるのでしょうか？

　？？
　質問の意味を取り違えてるのかもしれませんが。
　独自ドメインを取得して、そのドメインとサイトのサーバーのIPの関係をDNSに設定すれば、おおよそ48時間以内に、そのドメインがサーバー(サイト)を指すようになります。
　つまりそのドメイン名を含むURLでサーバー(サイト)にアクセスできるようになります。

レンタルサーバーが提供しているドメインと、独自ドメインですね。両方使えると思います。ディレクトリは別だったり、同じだったり、サーバーによって違います。