ステンレス製の氷（ウイスキーストーン等）でカクテルシェイカーを振るとどうなりますか？

たぶん氷ほどの冷却効果は見込めないと思います
0℃の氷が0度の水になるのに1kgあたり80キロカロリー要るそうです
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B0%B7
相転移かなんかでしょうか
1gだと80カロリーですから、1gの0℃の氷には80℃のお湯1gを0℃にするほどの冷却効果がある、ということになるんじゃないかと

ですから、比べ物にならないほど氷の方が冷える
アイスストーンでは氷ほどの効果は得られない

になるかと思います

アイスストーンを０℃より低く冷却しておけば効果大となります。
石（金属酸化物等）でできたものの場合、金属より熱容量が大きいので、０℃より低いとかなり冷却効果が上がります。
氷の場合、全部融けるわけではないので、全量の融解熱が冷却に利用できる訳ではありません。

しかし、２０℃の液体（ほとんど水）１０ｇを０℃に冷却しようとしたら、－２０℃以下のアイスストーンが１０ｇ以上必要になります。
熱容量がアイスストーンより水の方が大きいので。

ストーンの材質次第で、シェーカーが削れるか、ストーンが削れるかのどちらかでしょうね。出来上がったものには異物が混入しているでしょうから、飲用に適したものとはいえないでしょう。

なお、シェーカーで作るタイプのカクテルは、その容積の1/3が氷から解けた水で占められています。つまり想定よりも味がだいぶ濃くなりますよ？（冷やすだけが目的ではないという事）。もちろんシェイクする事には、空気を含ませて味をまろやかにすることも含まれているので、こちらの目的だけなら果たせるとは思いますが。

冷やす事だけが目的の場合はミキシンググラスが用いられます。マティーニがその代表格。こちらの代用としてなら使えないこともないのかもしれない。