なにかわかりやすい簡単な見分け方や、コツなどを教えていただきたいです。
No.7
[解説をしてみます]
おそらく根号記号（ルート）のあたりだろうと、めあてをつけてみます。
確かに難しいポイントです。
まあ、私なりにまとめると…
自然数では、整数は「有理数」。根号記号の付いた分数はそのたびごとに計算してみる。
根号記号が付いている数は、計算してみて根号記号が残らないものは「有理数」、そうでなければ「無理数」という理解で、今はいいのでは、と思います。急場しのぎにはなります。
[少し専門的な補足]
国語辞典でひいてみると、意外と理解しやすいのかもしれないです
私の持っている国語辞典から、引用してみます
・有理数 [数] 整数または分数で表すことができる数。対義語:無理数
・無理数 [数] 実数であって分数の形にあらわすことができない数。対義語:有理数
[定義]
数直線上の点に対応する数を実数といい、a/b(a,bは整数）の形であらわすことのできる数を「有理数」といいます。また、有理数でない実数を「無理数」といいます。
・循環小数 [数] 小数点以下の、ある位からあと、いくつかの同じ数字が同じ順序で限りなく繰り返される無限小数。
No.1
もし分数にして表現できる場合は有利数です。
それ以外の数は無理数です。
平方根をとる（ルートに入れる）とき、ルート９＝３などとルートをはずせるものは有理数であり、それ以外は無理数です。
円周率も無理数となることがわかっています（平方根の仲間になります）
無理数を含むの四則演算をするときは、
ルート３×ルート３＝３
のように有理数になるものがたまにあり（特殊ケース）、残りは無理数となります。
わかりにくいですが
１／（ルート３＋１） － １／（ルート３－１）のような一見無理数のままになるはずのものも有理数になることがあります（この計算結果からルートをはずすやり方はこの先習います）
無理数の計算結果は、たまたま有利数になるもの以外は、無理数です。
有理化して有理化できるものはもともと有理数だったのです。
見分ける方法は、式の形であれば有理化が可能かどうか。
√6372だけであれば素因数分解です。
どうしてもすぐにというなら今は電子計算機があります、関数電卓もあります、たとえばエクセルに
=1/(sqrt(3)+1)-1/(sqrt(3)-1) とか =sqrt(6372)
と入力すれば一発でわかります。
左は整数になり有理数とわかります。
右は整数でないためルートが残る、すなわち無理数であることがわかります。
No.2
-有理数は循環小数になります。
1/4=0.2500000000000000000000000000000...
1⁄6=0.1666666666666666666666666666666...
1⁄7=0.1428571428571428571428571428571...
-無理数は循環小数になりません。
√2=1.4142135623730950488016887242096...
√3=1.7320508075688772935274463415058...
√5=2.2360679774997896964091736687312...
※ 0が続く循環小数は特に有限小数といいます
例えば√21のときや√6372などはパッと見ただけでは無理数か有理数か迷ってしまうのですがこんなときはどうすればよいですか?
循環節が長いと、パッと見ただけでは無理数か有理数か迷ってしまいますね。
その意味では「わかりやすい簡単な見分け方」にはなりませんね。
補足です。循環少数が有理数で無限小数が無理数なのはわかりました。
では無限小数は無限に続くのになぜ『無限に続く』と言いきれるのですか?
無限に続くならいつかは循環少数のようにどこかを区切りとして循環していることも考えられるのではないのでしょうか
多分わたしはそこのあたりでこんがらがっているのだと思います。
No.3
まず、https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0より「オイラー定数 γ, π + e, eπ, その他 P(e, π)（P(X, Y) は X, Y 双方について次数が 1 以上である多項式）は有理数であるか無理数であるか知られていない。eのe乗, πのe乗, πのπ乗 といった数も同様である。」
不特定の数を見てそれが有理数か無理数かを完全に判定することは人間にはまだできていません。
中学であれば、ルートが残存する数はおよそ無理数、割り算でつくられる数は循環小数だが有理数といえます。
また、循環小数をみてもとの割り算の形になおすことはできます。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0
の「分数表現との関係」にあるやり方で割り算表記にもどせます。
ただし、実際無限につづく小数だと、ランダムに出てくる数のならびがたまたま循環小数に見える部分があったのか、本当に最後の最後までずっと循環小数なのかわかりません。
たとえばπにも３０桁くらい同じ数字の繰り返しになる部分があるそうです。そのあとまたランダムっぽくなります。３０桁も同じ数がつづいたからといってそこを最後まで同じ繰り返しだろうときめつけ、πは有理数だ！と決めつけてはいけないわけです。
No.4
既に出ている回答への補足ですが、ある数が有理数か無理数か、というのはそれ自体が数学上の大問題になることがあるくらいで、「簡単な身分け方のコツ」というのは難しいです。例えば過去の京都大学の入試に「tan 1°は有理数か」という問題がありました。(tanはまだ習っていないかもしれませんが、一方の角がうんと尖った(1°)直角三角形を描いた時、直角をはさむ一方の辺の長さをもう一方の辺の長さで割った数が有理数になるか、という問題と考えて良いです。) 上の回答にあるように、まだ有理数か無理数かわかっていない数というのもたくさんあります。
小数表現を見ただけではわかりません。質問者さんが疑問に思うとおり、「無限に続く」かどうかは、実際に無限に書き出すことができない以上、数字を見て判断しようがないわけです (本当に無限に続くかは証明の問題になります。よくあるのは、「どこかで循環すると仮定して論証を進めると矛盾が生じる。よって循環せずに永遠に続く」という形式の証明です。) 計算機で計算してみるのもあてになりません。計算機は有限の精度でしか計算できないので、結果が整数に見えたとしても、実は整数に非常に近い無理数なのかもしれないからです。
結局、「整数a, b (b≠0) を使って a/b と表せるなら有理数」という定義に戻って、
(1) 式を変形していってa/bにできれば有理数。有理数の有限回の加減乗除で得られる数も有理数。
(2) 「a/bの形にできるとしたら矛盾が生じる」なら無理数
のどちらかに地道に帰着させるしかないです。
ただ、√2、√3、πなど無理数であることが知られている数はあるので、
(2') 求める数が rx + q (xは無理数であることが知られている数、rとqは有理数) の形になったなら、無理数
を使っても良いです。(2'が2と等価である証明は考えてみてください。)
回答ありがとうございます
>「簡単な身分け方のコツ」というのは難しいです
そうなんですか…それでは地道にこんな数は無理数って覚えていくしかないっぽいですね。
丁寧に説明してくださりありがとうございます。
(2')はr≠0
No.5
たとえば 1/99=0.01010101・・・ですので、0.1717は、17/99と表せます。
同様に、循環する小数は、かならず分数の形で表せるからです。
もう1つ例を出すなら、
0.123123123・・・は、0.001001・・・の123倍なので、1/999 * 123
なので、分数で表せない数(=有理数)は、循環しません。
わかりやすい回答ありがとうございます
No.6
明確な解答ではなくヒント的なことになってしまいますが、
「なぜ『無限に続く』と言いきれるのですか?」に対して触れさせて頂きます
161/101を例にとって説明します。
これは実際は循環小数なのですが、このままでは分数表示なので小数に変換するには
161÷101を筆算すればいいことになります。
実際に計算して実感してください。
循環している桁数までイクと、ある数を起てると次に立てる数もわかりますね。
これが循環小数が循環する理由なのです。
しかし、そのことわかるのは割り算のロジックを用いているからであり
割り算で表せない数(無理数)にはこの考え方は使えません
循環小数が循環する仕組みと、これは有理数だけの話だな。ということだけは理解して貰えるのではないかと思います。
>>割り算で表せない数(無理数)にはこの考え方は使えません
あぁ。なんとなくわかった気がします
回答ありがとうございます
No.7
ここでベストアンサー
[解説をしてみます]
おそらく根号記号（ルート）のあたりだろうと、めあてをつけてみます。
確かに難しいポイントです。
まあ、私なりにまとめると…
自然数では、整数は「有理数」。根号記号の付いた分数はそのたびごとに計算してみる。
根号記号が付いている数は、計算してみて根号記号が残らないものは「有理数」、そうでなければ「無理数」という理解で、今はいいのでは、と思います。急場しのぎにはなります。
[少し専門的な補足]
国語辞典でひいてみると、意外と理解しやすいのかもしれないです
私の持っている国語辞典から、引用してみます
・有理数 [数] 整数または分数で表すことができる数。対義語:無理数
・無理数 [数] 実数であって分数の形にあらわすことができない数。対義語:有理数
[定義]
数直線上の点に対応する数を実数といい、a/b(a,bは整数）の形であらわすことのできる数を「有理数」といいます。また、有理数でない実数を「無理数」といいます。
・循環小数 [数] 小数点以下の、ある位からあと、いくつかの同じ数字が同じ順序で限りなく繰り返される無限小数。
>>根号記号が付いている数は、計算してみて根号記号が残らないものは「有理数」、そうでなければ「無理数」という理解で、今はいいのでは、と思います。
そうですね。テストはそんな複雑な問題が出なかったので、こういう理解でいけました。
回答ありがとうございます
ベストアンサーです
どういたしまして(^^ 中間テストの時季だね ケアレスミスしなければ大丈夫
大人から子どもたちへ言えること、っていったら「友達を大事にしなさいよ」くらいだから
それにしても、この設問に回答したおかげで、TeX記法の分数表記のしかたがわかったので、私も得しました。なんせ文法マニュアルが英語なもので…
こちらこそありがとうございます
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>>根号記号が付いている数は、計算してみて根号記号が残らないものは「有理数」、そうでなければ「無理数」という理解で、今はいいのでは、と思います。
2015/07/04 18:39:38そうですね。テストはそんな複雑な問題が出なかったので、こういう理解でいけました。
回答ありがとうございます
ベストアンサーです
どういたしまして(^^ 中間テストの時季だね ケアレスミスしなければ大丈夫
2015/07/04 19:14:55大人から子どもたちへ言えること、っていったら「友達を大事にしなさいよ」くらいだから
それにしても、この設問に回答したおかげで、TeX記法の分数表記のしかたがわかったので、私も得しました。なんせ文法マニュアルが英語なもので…
こちらこそありがとうございます