OAuth認証を使ってTwitterへログインしようとしています．使用しているライブラリはTwitterOAuthです．

可能です。一度認証させて定期的に呟くBOTや、再度認証を求められないTwitterクライアント等と同様の仕組みになります。
必要な情報は
・アプリ側の「consumerKey」「consumerSecret」(dev.twitterから入手するキーの組み合わせ)
・ログイン手順で生成されたユーザー側の「oauthToken」「oauthTokenSecret」
の4つの組み合わせになります。
callbackで生成される一時的なトークンは基本的に使い捨てなので、DBに保存しておく必要はありません。
実際に試してみると良いと思います。

しかし、キーが漏れてしまうような作りをしてしまうと認証の意味が無くなってしまうので、必要な時に認証してもらう設計が良いのではないでしょうか。

その場合，ログインをする際にユーザをどうやって特定すればいいのでしょうか？DBのアクセストークンと紐づけるためのユーザIDの取得方法が分からないです．

一般的にはcookieを利用するのではないでしょうか。