数学が苦手なので教えて下さい


質問させて頂きます。
スポーツの試合で、全体が12試合あるとして、ビデオ撮影をしているチームが4チームあります。
そのうちある選手が3試合に出場するとして、撮影チームに1試合でも当たる確率を知りたいです。
中学生レベルの問題かもしれませんが、宜しくお願い致します。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2015/11/12 06:40:18
  • 終了:2015/11/19 06:45:03

ベストアンサー

id:a-kuma3 No.3

a-kuma3回答回数4583ベストアンサー獲得回数19232015/11/12 11:03:03

ポイント100pt

組合せの数を数えるやり方で求めた場合です。


12試合から、4試合を撮影する組合せの数。
12から4を選ぶ組み合わせ。

{}_{12} C _{4} = ¥frac{12 ¥cdot 11 ¥cdot 10 ¥cdot 9}{4 ¥cdot 3 ¥cdot 2 ¥cdot 1} = 495


ある選手を撮影できた組合せを数えます。

ある選手が出る3試合を全て撮影できた場合の組み合わせの数。
3から3を選ぶ組み合わせと、9から1を選ぶ組み合わせの数の掛け算。

{}_{3} C _{3} ¥times {}_{9} C _{1}= ¥frac{3 ¥cdot 2 ¥cdot 1}{3 ¥cdot 2 ¥cdot 1} ¥times ¥frac{9}{1} = 9


ある選手が出る3試合のうち 2試合を撮影できた場合の組み合わせの数。
3から2を選ぶ組み合わせと、9から2を選ぶ組み合わせの数の掛け算。

{}_{3} C _{2} ¥times {}_{9} C _{2}= ¥frac{3 ¥cdot 2}{2 ¥cdot 1} ¥times ¥frac{9 ¥cdot 8}{2 ¥cdot 1} = 108


ある選手が出る3試合のうち 1試合だけを撮影できた場合の組み合わせの数。
3から1を選ぶ組み合わせと、9から3を選ぶ組み合わせの数の掛け算。

{}_{3} C _{1} ¥times {}_{9} C _{3}= ¥frac{3}{1} ¥times ¥frac{9 ¥cdot 8 ¥cdot 7}{3 ¥cdot 2 ¥cdot 1} = 252


ある選手が撮影できる確率。

¥frac{9+108+252}{495} = ¥frac{369}{495} = 0.745454 ¥ldots



No.1 で回答にあるように、撮影できなかった方を数える方が計算は簡単です。

ある選手が出る3試合を全て撮影できなかった場合の組み合わせの数。
つまり、出ない9試合から4試合を撮影する組合せの数。

{}_{9} C _{4} = ¥frac{9 ¥cdot 8 ¥cdot 7 ¥cdot 6}{4 ¥cdot 3 ¥cdot 2 ¥cdot 1} = 126


ある選手を1回でも撮影できた組合せの数は、全体からそれを引いたものなので、ある選手が撮影できる確率は、

¥frac{495-126}{495} = ¥frac{369}{495} = 0.745454 ¥ldots




2日連続で行われる場合。

撮影する試合の組み合わせは、1日目が 495、2日目も 495 なので、

495 ¥times 495 = 245025


ある選手を初日も撮影できて、2日目も撮影できる組合せ。

369 ¥times 369 = 136161


ある選手を初日は撮影できたけど、2日目は撮影できなかった組み合わせ。

369 ¥times 126 = 46494


逆に、初日に撮影できなくて、2日目に撮影できた組合せも同数あります。

なので、2日間である選手を 1回でも撮影できる確率は、

¥frac{136161 + 46494 ¥times 2}{245025} = 0.9352066 ¥ldots




ある選手が 1試合しか出ない場合。

撮影の組み合わせ数は一緒です。

ある選手が出る1試合を撮影できた場合の組み合わせの数。
1から1を選ぶ組み合わせと、11から3を選ぶ組み合わせの数の掛け算。

{}_{1} C _{1} ¥times {}_{11} C _{3}= ¥frac{1}{1} ¥times ¥frac{11 ¥cdot 10 ¥cdot 9}{3 ¥cdot 2 ¥cdot 1} = 165


ある選手が撮影できる確率。

¥frac{165}{495} = 0.3333 ¥ldots

他7件のコメントを見る
id:a-kuma3

2試合出たとして、それが全て撮影されている確率の場合はどうなりますでしょうか。

2試合出て、その全てを撮影できる組合せの数は、
2から2を選ぶ組み合わせと、10から2を選ぶ組み合わせの数の掛け算です。

{}_{2} C _{2} ¥times {}_{10} C _{2}= ¥frac{2}{2} ¥times ¥frac{10 ¥cdot 9}{2 ¥cdot 1} = 45

なので、2試合すべてを撮影できる確率は 9% 程度になります。

¥frac{45}{495} = 0.0909090 ¥ldots

2015/11/12 12:38:51
id:asdf212asutrf7ik78

有難うございます。
終了時ベストアンサーにさせて頂きます。

2015/11/12 12:42:11

その他の回答(2件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4400ベストアンサー獲得回数4042015/11/12 07:52:26

ポイント100pt

 余事象を使って、ある選手が出る試合とビデオ撮影される試合が一度も重ならない確率を求めて、これを1から引けばよいです。
1-(¥frac{8}{12})(¥frac{7}{11})(¥frac{6}{10})=¥frac{41}{55}

他5件のコメントを見る
id:asdf212asutrf7ik78

すみません、加えて質問させて下さい。
仮に選手が1度しか試合に出ない場合どのような計算式になりますか?

2015/11/12 09:09:43
id:rsc96074

 別のやり方だと、
(1日目撮影されて2日目も撮影される確率)+(1日目撮影されて2日目は撮影されない確率)+(1日目撮影されないで2日目は撮影される確率)
=(41/55)*(41/55)+(41/55)*(14/55)+(14/55)*(41/55) = 0.935206611570248
ちなみに、
(1日目撮影されないで2日目も撮影されない確率) = (14/55)*(14/55) = 0.0647933884297523

>仮に選手が1度しか試合に出ない場合どのような計算式になりますか?
1-(8/12)=4/12=1/3

2015/11/12 09:36:44
id:NAPORIN No.2

なぽりん回答回数4713ベストアンサー獲得回数8692015/11/12 09:38:50

ポイント100pt

4会場を4チームが撮影するなら100%じゃんとおもったけれど、12試合中4試合分のテープしかないってことか。
あるいは3会場中1会場だけ撮影チームが入るとか。
 
それは全試合(100%)からお目当て選手3試合を1試合もチームが撮影しない確率(Aとする)を引くのがよい。(お目当て選手が1試合・2試合・3試合撮影された場合を分けて計算して合計するより楽ちんだから)
 
 
Aは撮影チームがそれ以外の試合を引く確率だから
(9/12)×(8/11)×(7/10)×(6/9)
=(8×7×6)/(12×11×10)
=(2×7)/(11×5)
=14/55
 
です
求める確率は41/55で、80%弱の確率で選手が撮れてます
 
1試合となると1-(11/12)×(10/11)×(9/10)×(8/9)
=1-(8/12)
=1-(2/3)
=1/3
つまり33%の確率で選手の姿がとれています。
(1番の回答者の検算としてお使いください。合ってるとおもいますよ)

id:a-kuma3 No.3

a-kuma3回答回数4583ベストアンサー獲得回数19232015/11/12 11:03:03ここでベストアンサー

ポイント100pt

組合せの数を数えるやり方で求めた場合です。


12試合から、4試合を撮影する組合せの数。
12から4を選ぶ組み合わせ。

{}_{12} C _{4} = ¥frac{12 ¥cdot 11 ¥cdot 10 ¥cdot 9}{4 ¥cdot 3 ¥cdot 2 ¥cdot 1} = 495


ある選手を撮影できた組合せを数えます。

ある選手が出る3試合を全て撮影できた場合の組み合わせの数。
3から3を選ぶ組み合わせと、9から1を選ぶ組み合わせの数の掛け算。

{}_{3} C _{3} ¥times {}_{9} C _{1}= ¥frac{3 ¥cdot 2 ¥cdot 1}{3 ¥cdot 2 ¥cdot 1} ¥times ¥frac{9}{1} = 9


ある選手が出る3試合のうち 2試合を撮影できた場合の組み合わせの数。
3から2を選ぶ組み合わせと、9から2を選ぶ組み合わせの数の掛け算。

{}_{3} C _{2} ¥times {}_{9} C _{2}= ¥frac{3 ¥cdot 2}{2 ¥cdot 1} ¥times ¥frac{9 ¥cdot 8}{2 ¥cdot 1} = 108


ある選手が出る3試合のうち 1試合だけを撮影できた場合の組み合わせの数。
3から1を選ぶ組み合わせと、9から3を選ぶ組み合わせの数の掛け算。

{}_{3} C _{1} ¥times {}_{9} C _{3}= ¥frac{3}{1} ¥times ¥frac{9 ¥cdot 8 ¥cdot 7}{3 ¥cdot 2 ¥cdot 1} = 252


ある選手が撮影できる確率。

¥frac{9+108+252}{495} = ¥frac{369}{495} = 0.745454 ¥ldots



No.1 で回答にあるように、撮影できなかった方を数える方が計算は簡単です。

ある選手が出る3試合を全て撮影できなかった場合の組み合わせの数。
つまり、出ない9試合から4試合を撮影する組合せの数。

{}_{9} C _{4} = ¥frac{9 ¥cdot 8 ¥cdot 7 ¥cdot 6}{4 ¥cdot 3 ¥cdot 2 ¥cdot 1} = 126


ある選手を1回でも撮影できた組合せの数は、全体からそれを引いたものなので、ある選手が撮影できる確率は、

¥frac{495-126}{495} = ¥frac{369}{495} = 0.745454 ¥ldots




2日連続で行われる場合。

撮影する試合の組み合わせは、1日目が 495、2日目も 495 なので、

495 ¥times 495 = 245025


ある選手を初日も撮影できて、2日目も撮影できる組合せ。

369 ¥times 369 = 136161


ある選手を初日は撮影できたけど、2日目は撮影できなかった組み合わせ。

369 ¥times 126 = 46494


逆に、初日に撮影できなくて、2日目に撮影できた組合せも同数あります。

なので、2日間である選手を 1回でも撮影できる確率は、

¥frac{136161 + 46494 ¥times 2}{245025} = 0.9352066 ¥ldots




ある選手が 1試合しか出ない場合。

撮影の組み合わせ数は一緒です。

ある選手が出る1試合を撮影できた場合の組み合わせの数。
1から1を選ぶ組み合わせと、11から3を選ぶ組み合わせの数の掛け算。

{}_{1} C _{1} ¥times {}_{11} C _{3}= ¥frac{1}{1} ¥times ¥frac{11 ¥cdot 10 ¥cdot 9}{3 ¥cdot 2 ¥cdot 1} = 165


ある選手が撮影できる確率。

¥frac{165}{495} = 0.3333 ¥ldots

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id:a-kuma3

2試合出たとして、それが全て撮影されている確率の場合はどうなりますでしょうか。

2試合出て、その全てを撮影できる組合せの数は、
2から2を選ぶ組み合わせと、10から2を選ぶ組み合わせの数の掛け算です。

{}_{2} C _{2} ¥times {}_{10} C _{2}= ¥frac{2}{2} ¥times ¥frac{10 ¥cdot 9}{2 ¥cdot 1} = 45

なので、2試合すべてを撮影できる確率は 9% 程度になります。

¥frac{45}{495} = 0.0909090 ¥ldots

2015/11/12 12:38:51
id:asdf212asutrf7ik78

有難うございます。
終了時ベストアンサーにさせて頂きます。

2015/11/12 12:42:11

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