ある条件の数式からもっとも値が少ない組み合わせを計算で出す方法を教えてください。

解答だけを手っ取り早く知りたいのでしょうか？（それなら回答者No1さんの方法でよい）

それとも，こういう問題を解くときの
解答を導き出すための仕組み，手順，考え方，アルゴリズムを知りたいのでしょうか？
（それはつまり，線形計画法の手順を解説してほしい，ということになる）

それとも，こういう問題を解くための
プログラムのソースコードを自分で実装したい，ということでしょうか？


なお，質問文にある問題を定式化すると下記のようになります。

これが定番の言い回し，数学的・工学的に伝わりやすい形式ですね。


■最小化問題

制約条件のもとで，目的関数ｆを最小化したい。

ｆを最小化するような５変数のパラメータを決定せよ。


■目的関数

f(x,y,z,w,q)＝ 14 x + 13 y + 12 z + 11 w - 10 q


■制約条件：
x + y + z + w + q = 5000
0 <= x, x は500の倍数
0 <= y, y <= 2500
0 <= z, z <= 500, zは100の倍数
0 <= w
q <= 0, -500 <= q


・・・というふうに書けば，
あとは最小化問題のロジックや既存のライブラリ（＝ソルバ）を
機械的に当てはめるだけで解が出ますからね。

目的関数も線形ですし，制約条件も線形ですから。

ただｘとｚには，整数であるという条件が付くので，
線形計画法ではなく，整数計画法になってきますけど。。。

[0, 0, 0, 5000, 0]

ご回答ありがとうございます。Excelにゾルバーを入れて試したところうまくいきました。ありがとうございました。今回はExcelで行いましたが、これをPHPに移植したいと考えていますが、PHPのライブラリーが見つけられません。もしご存じの方がいらっしゃいましたら教えてください。よろしくお願いいたします。