PHP PhantomJSが使える「共用サーバー」はありませんでしょうか。

うーん、インストールコマンドが使えない場合は、すでにレンタルサーバにPhantomJSがインストールされているサービスを探すしかないです。
検索してみましたが、ちょっとみあたらないですね…

OpenshiftやHerokuをおすすめした理由はコストです。無料なので。
専用サーバーだと基本的に有料になってしまうか広告が入りますので。。。
ものすごく容量を使うものや、処理負荷がかかるものでなければ問題なく使用できます。

速度感は、使っている分には気にならないです。行う処理にもよるとは思いますが。
広告や解析が入らないので、遅くはないと思われます。
サーバ落ちもほとんどないですし、WEBコンソールで再起動できます。
ただし訪問人数が数日間0人だと、サーバが停止してしまう（アイドル状態）という難点があります。（詳しい仕様は英語なのでよくわかりませんが、外に見せるようのサイトならほぼ起きない、研究目的のサイトでも相当放置していなければ大丈夫）

もちろんこれは私個人の使用感なので、実際とは異なるかもしれません。

どのみちPhantomJSを使うには、レンタルサーバにPhantomJSがインストールされているサービスがみつからない以上、自力でインストールするしかなさそうなので…コマンドを覚えて試行錯誤するしかないかもしれませんね。

こういった開発者向けのサービスは、速度面に関してはさくらやロリポップなどとは比べ物にならないほど速いはずです。
ただ、FTPがない、説明が専門用語、自由度が高すぎるなどなど敷居が少しだけ高いです。
（いろいろ無茶してぶっ壊して学ぶところなので）
あと、こういうサービスはバックアップなどは（おそらく）とっていないので、消えたときのユーザー対応などは皆無だと思われます。データ消滅時の自己防衛なども一応する必要があります。

その点通常のレンタルサービスではユーザーサポートがあり親切で安心です。
しかし制限がおおくインストールも制限されています。