f(θ)=2sinθ+cosθ+4sinθcosθ+3(sinθ)^2の最小値最大値を求めよ
という問いを解くときに解答は 2sinθ+cosθ=t と置換して解き進めているのですが
2sinθ+cosθ=t と置換するっていうのはどうやって決めたのでしょうか
置換以外の解き方があれば書いてくれるとうれしいです
No.2
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この質問の意図は，
「ｔをどうやってうまく決めたのか，その方法を知りたい」
ということですよね。
＞2sinθ+cosθ=t と置換するっていうのはどうやって決めたのでしょうか
こうやってうまく置換すれば解けるのはわかる。
しかし，どうすればそういう上手な置換ができるのか。
を知りたいのでしょう。
下記のように考えてください。
sinとcosに関する２次式だから，
a sinθ + b cos θを一つのまとまりとすればよさそうだ。
具体的な係数としてa, b の値を求めるためには，
a sinθ + b cos θ = t として，
２次式だから２乗してみて，与式と比較すればよい。
t^2
= ( a sinθ + b cos θ ) ^2
= a^2 sin^2 θ + b^2 (1 - sin^2 θ) + 2ab sinθcosθ
= (a^2 - b^2 )sin^2 θ + 2ab sinθcosθ + b^2
ここで，sin^2とsinθcosθの係数を比較して，
a^2 - b^2 = 3
2ab = 4
これを解くと，a=2, b=1です。
したがって，
t = a sinθ + b cos θ = 2sinθ + cos θ と置換すれば，
二次式をきれいに整理できそうだ，という方針が立つわけです。
大学入試の問題では，この方針が立てば，
まず間違いなくきれいに整理できるような問題が出題される，と考えてください。
結果的には，２次式だけでなく１次式の部分もきれいに置換できて
与式からsinとcosを消し，tだけの式になります。
以上のような手順で，置換すべき具体的な式の内容を求めることができます。
No.1
4892909
仰るとおりのｔと定義する解き方をまずはかいてみます。
ｔの２乗は、４ｓｉｎθ＾２＋ｃｏｓθ＾２＋４ｓｉｎθｃｏｓθですもんね、ＣＯＳθ２を１－ＳＩＮθ２と式変形してやると、ｆ（θ）＋１－ｔにもどりますね。ｆ（θ）＝ｔ＾２＋ｔ－１。
あとｔの範囲をもとめればいいのです。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1181003336 にあるように合成をするとｔが√５から－√５までの範囲だとわかります。
あとはその範囲内の二次関数最大値最小値の話しに化けました。Ｕっぽいあの放物線グラフを頭ん中で描いて、こたえｆ（θ）は４＋√５から－１だとわかります。
これはたしかにちょっと方針がわかりにくいとは思います。
ただ三角関数の場合、自乗したもの、ｃｏｓθ＾２などがいちばん変形の融通がきく部分なんだなと思ってください。最初はここの係数は無視していてもいいかも。だって、適当にｓｉｎθ＾２＝１－ｃｏｓθ＾２をかませれば係数をあとからでも換えてしまえるので。
融通が効かない（合成以外の手段では非常に消しにくい）部分がｔのようにバラバラ、１乗しかしてないｓｉｎやＣＯＳの加算・減算の部分なんだなと思ってください。基本的には因数分解と同じ消えない係数とのにらめっこです。
二次関数で２ｘ＾２＋ｙ＾２＋４ｘｙ＋・・ってあったら、ん？なんかたすきがけしたあとみたいなきれいに合ってる係数があるなって思うように、サインコサインでも、こういうのはどうやら因数分解で片付く係数だなって思う数学的センスが、慣れると、持てるかもしれません。
合成を学んだ人なら解けるようにつくってある問題ですので、同系統の問題をいっぱいといて、なれておきましょう。解く中でどこで「合成で解けるか解けないか」を区別するかを覚えるとおもいます。
No.2
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ここでベストアンサー
この質問の意図は，
「ｔをどうやってうまく決めたのか，その方法を知りたい」
ということですよね。
＞2sinθ+cosθ=t と置換するっていうのはどうやって決めたのでしょうか
こうやってうまく置換すれば解けるのはわかる。
しかし，どうすればそういう上手な置換ができるのか。
を知りたいのでしょう。
下記のように考えてください。
sinとcosに関する２次式だから，
a sinθ + b cos θを一つのまとまりとすればよさそうだ。
具体的な係数としてa, b の値を求めるためには，
a sinθ + b cos θ = t として，
２次式だから２乗してみて，与式と比較すればよい。
t^2
= ( a sinθ + b cos θ ) ^2
= a^2 sin^2 θ + b^2 (1 - sin^2 θ) + 2ab sinθcosθ
= (a^2 - b^2 )sin^2 θ + 2ab sinθcosθ + b^2
ここで，sin^2とsinθcosθの係数を比較して，
a^2 - b^2 = 3
2ab = 4
これを解くと，a=2, b=1です。
したがって，
t = a sinθ + b cos θ = 2sinθ + cos θ と置換すれば，
二次式をきれいに整理できそうだ，という方針が立つわけです。
大学入試の問題では，この方針が立てば，
まず間違いなくきれいに整理できるような問題が出題される，と考えてください。
結果的には，２次式だけでなく１次式の部分もきれいに置換できて
与式からsinとcosを消し，tだけの式になります。
以上のような手順で，置換すべき具体的な式の内容を求めることができます。
わかりやすい解説ありがとうございました
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わかりやすい解説ありがとうございました
2016/09/20 14:04:45