数学 三角関数の問題の解き方の質問です

f(θ)=2sinθ+cosθ+4sinθcosθ+3(sinθ)^2の最小値最大値を求めよ
という問いを解くときに解答は 2sinθ+cosθ=t と置換して解き進めているのですが
2sinθ+cosθ=t と置換するっていうのはどうやって決めたのでしょうか

置換以外の解き方があれば書いてくれるとうれしいです

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2016/09/20 11:29:44
  • 終了:2016/09/20 14:02:19

ベストアンサー

id:Shiraberu No.2

Shiraberu回答回数6ベストアンサー獲得回数42016/09/20 13:04:17

この質問の意図は,
「tをどうやってうまく決めたのか,その方法を知りたい」
ということですよね。

>2sinθ+cosθ=t と置換するっていうのはどうやって決めたのでしょうか
こうやってうまく置換すれば解けるのはわかる。
しかし,どうすればそういう上手な置換ができるのか。
を知りたいのでしょう。


下記のように考えてください。

sinとcosに関する2次式だから,
a sinθ + b cos θを一つのまとまりとすればよさそうだ。

具体的な係数としてa, b の値を求めるためには,
a sinθ + b cos θ = t として,
2次式だから2乗してみて,与式と比較すればよい。

t^2
= ( a sinθ + b cos θ ) ^2
= a^2 sin^2 θ + b^2 (1 - sin^2 θ) + 2ab sinθcosθ
= (a^2 - b^2 )sin^2 θ + 2ab sinθcosθ + b^2

ここで,sin^2とsinθcosθの係数を比較して,
a^2 - b^2 = 3
2ab = 4
これを解くと,a=2, b=1です。

したがって,
t = a sinθ + b cos θ = 2sinθ + cos θ と置換すれば,
二次式をきれいに整理できそうだ,という方針が立つわけです。

大学入試の問題では,この方針が立てば,
まず間違いなくきれいに整理できるような問題が出題される,と考えてください。

結果的には,2次式だけでなく1次式の部分もきれいに置換できて
与式からsinとcosを消し,tだけの式になります。

以上のような手順で,置換すべき具体的な式の内容を求めることができます。

id:miiQxyz

わかりやすい解説ありがとうございました

2016/09/20 14:04:45

その他の回答(1件)

id:NAPORIN No.1

なぽりん回答回数4555ベストアンサー獲得回数8442016/09/20 11:49:30

仰るとおりのtと定義する解き方をまずはかいてみます。
tの2乗は、4sinθ^2+cosθ^2+4sinθcosθですもんね、COSθ2を1-SINθ2と式変形してやると、f(θ)+1-tにもどりますね。f(θ)=t^2+t-1。
あとtの範囲をもとめればいいのです。
 
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1181003336 にあるように合成をするとtが√5から-√5までの範囲だとわかります。
あとはその範囲内の二次関数最大値最小値の話しに化けました。Uっぽいあの放物線グラフを頭ん中で描いて、こたえf(θ)は4+√5から-1だとわかります。
 
 
これはたしかにちょっと方針がわかりにくいとは思います。
ただ三角関数の場合、自乗したもの、cosθ^2などがいちばん変形の融通がきく部分なんだなと思ってください。最初はここの係数は無視していてもいいかも。だって、適当にsinθ^2=1-cosθ^2をかませれば係数をあとからでも換えてしまえるので。
 
融通が効かない(合成以外の手段では非常に消しにくい)部分がtのようにバラバラ、1乗しかしてないsinやCOSの加算・減算の部分なんだなと思ってください。基本的には因数分解と同じ消えない係数とのにらめっこです。
 
二次関数で2x^2+y^2+4xy+・・ってあったら、ん?なんかたすきがけしたあとみたいなきれいに合ってる係数があるなって思うように、サインコサインでも、こういうのはどうやら因数分解で片付く係数だなって思う数学的センスが、慣れると、持てるかもしれません。

合成を学んだ人なら解けるようにつくってある問題ですので、同系統の問題をいっぱいといて、なれておきましょう。解く中でどこで「合成で解けるか解けないか」を区別するかを覚えるとおもいます。

id:Shiraberu No.2

Shiraberu回答回数6ベストアンサー獲得回数42016/09/20 13:04:17ここでベストアンサー

この質問の意図は,
「tをどうやってうまく決めたのか,その方法を知りたい」
ということですよね。

>2sinθ+cosθ=t と置換するっていうのはどうやって決めたのでしょうか
こうやってうまく置換すれば解けるのはわかる。
しかし,どうすればそういう上手な置換ができるのか。
を知りたいのでしょう。


下記のように考えてください。

sinとcosに関する2次式だから,
a sinθ + b cos θを一つのまとまりとすればよさそうだ。

具体的な係数としてa, b の値を求めるためには,
a sinθ + b cos θ = t として,
2次式だから2乗してみて,与式と比較すればよい。

t^2
= ( a sinθ + b cos θ ) ^2
= a^2 sin^2 θ + b^2 (1 - sin^2 θ) + 2ab sinθcosθ
= (a^2 - b^2 )sin^2 θ + 2ab sinθcosθ + b^2

ここで,sin^2とsinθcosθの係数を比較して,
a^2 - b^2 = 3
2ab = 4
これを解くと,a=2, b=1です。

したがって,
t = a sinθ + b cos θ = 2sinθ + cos θ と置換すれば,
二次式をきれいに整理できそうだ,という方針が立つわけです。

大学入試の問題では,この方針が立てば,
まず間違いなくきれいに整理できるような問題が出題される,と考えてください。

結果的には,2次式だけでなく1次式の部分もきれいに置換できて
与式からsinとcosを消し,tだけの式になります。

以上のような手順で,置換すべき具体的な式の内容を求めることができます。

id:miiQxyz

わかりやすい解説ありがとうございました

2016/09/20 14:04:45

コメントはまだありません

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません