彼女は八人兄弟姉妹の四番目の子で、真ん中の子です。その彼女が、

slotは「置く」みたいな意味ですかね。
「真ん中らへんのどこかに置いた」とか、そんな感じじゃないかと思います。
いくつかある中の、真ん中らへんですね。

She said that nothing she did was surprising because her older brother and sisters had been done before and the babies after she were doted upon. So she just slotted in somewhere in the middle, pretty much unnoticed a lot of the time.

ややこしいので原文は間接話法ですが直接話法に切り替えてみます。
彼女は言った、
「私のやったことはなにも驚くことじゃない、だって私の兄や姉は私より前に成長しおわってたし、私の下の子たちは溺愛されてた。私は真ん中あたりに滑り込んだだけ（の子で）、長い間、かなり放っておかれた。」

滑り込むというか、押し込まれるというか、位置するというか。流れのなかの、たまたまその位置に居た、挟まれている、みたいなことでしょうか。
　
余談ですが
８人より少ない３人兄弟でも「真ん中」のお子さんは得てしてこのような感慨を抱くもののようです。実際は兄・姉も２０歳も離れているわけがないので、しあがった人間だというわけではないし、年端もゆかぬ子は手がかかるのが当然で自分も小さいころは同じように手間がかかったはずなのを覚えていないだけ。
ですが、上も下もかまっている親の姿が目に付くと自分は親の愛情のうち、１／３以下の分け前しかもらえていないとおもってしまうようです。真ん中の子でも体が弱い子は看病をしばしば受けるために、そうは思わないのですが、体がつよく手間のかからない子（たぶんジョーでしたっけ？）なんかはそう思ってしまいます。