とある職場でパート（社会保険加入）で働いて約三か月です。職場内のパワーハラスメントひどく、辞めたい旨を伝えました。退職届を書いてほしいと言われ4/20日申告で5/20日に辞めるという文書を書きました。今日は5/7日ですがもう精神的に限界なのですぐにでも退職したいです。民法的には14日前の申告で退職できるとありました。すぐにでも早期に退職することは可能ですか？ちなみに一番初めに辞めたい旨を話したのは4/15日前後です（口頭ですが）その時は4月いっぱいで辞めさせてもらいたいとお願いしたのですが人員不足なので5月いっぱいまではいてもらわないと困るといわれましたが、それはさすがに無理だと思い、20日が締日なので5/20まででお願いしますと言ったら退職届は4/20申告の5/20で書いてくださいと言われました。

可能かどうかという事なら何の事もありません。明日、退職もほとんど問題なしにできます。民法の縛りとか文書での約束もある程度有効ですが、当人がイヤだと言っている者を無理に働かせる事はできません。それこそ強制労働で、社長が5年の懲役になってしまいます。
あとは、いかに意思を貫くか、会社側の圧力に負けないでいられるかだけの問題です。
民法は賠償責任ですが、これが有効になる例はほぼありませんので、「では、裁判して下さい」で押し通して構いません。まれに、へそ曲がりな会社が嫌がらせのためだけで本当に裁判を起こす事もありますが、その場合は、きちんと弁護士を立てて討って出ればほぼ、、間違いなく勝訴できます（まあ、ほぼ、ですけど）
また、裁判と言うなら、パワハラの証拠を集めておいて、こちらから起こしても構いません。証拠次第で勝つか負けるか何とも言えませんが、会社に一矢報いる事ができます。
まともな会社なら、どうしても明日でやめます、と強硬に言っている者を無理に引き留めたりはしません。もっとも、そういう会社ならパワハラもしませんから、何とも言えませんけど。

要するに、会社へはっきり通知して、後は出社しなければ良いのです。それだけの事。