Excelで文字列の先頭にある1～4桁の数字のみを削除したい。

こんな感じでどうでしょう。

Sub cut_number()
    source_col = 1      ' A列
    last_row = Cells(Rows.Count, source_col).End(xlUp).Row
    Set re = CreateObject("VBScript.RegExp")
    re.Pattern = "^\d{1,4}"
    For r = 2 To last_row
        s = Cells(r, source_col).Value
        s = re.Replace(s, "")
        Cells(r, source_col).Value = s
    Next
End Sub

標準モジュールに、上記のコードを貼り付けて、cut_number サブルーチンを実行してください。
先頭行は、タイトル行だと想定して、2行目から開始します。