この証明が分かりません。

(a→∃xb(x))→∃x(a→b(x))

普通の数学であれば、

a→∃xb(x)を仮定する。
すると、aのときに∃xb(x)なのでb(x)を満たすxの1つをx0とすると、
a→b(x0)
よって∃x(a→b(x))
以上より、(a→∃xb(x))→∃x(a→b(x))は示された。

ですが、これは形式的な証明とは言えません。ブルバキのτ（タウ）記号を認めればこれと同様のことができますが、普通は認めません。

普通の数学なら、aがxを持ったら「混乱を招く書き方をするな」ということになりますが。

ヒルベルト琉とちゃんと断って質問しないとね。
二等辺三角形の底角が等しいことの証明にしたって、中学校流、ユークリッド流、ヒルベルト流で全然違いますからね。

対偶ではダメですかね。

ヒルベルト流なら、∃は∀に帰着させるしかないはずです。普通の数学とかけ離れていますが。

対偶
￢∃x(a→b(x))→￢(a→∃xb(x))
を示せば良い。

対偶の仮定は次のように変形できる。
∀x￢(a→b(x))
∀x￢(￢a∨b(x))
∀x(a∧￢b(x))

対偶の結論は次のように変形できる。
￢(￢a∨∃xb(x))
a∧￢∃xb(x)
a∧∀x￢b(x)

だから
∀x(a∧￢b(x))→a∧∀x￢b(x)
を示せば良い。

これは次のように導出できる。
∀x(a∧￢b(x))［仮定］(1)
a∧￢b(x)［(1)から∀削除］(2)
a［(2)から∧の前分離］(3)
￢b(x)［(2)から∧の後分離］(4)
∀x￢b(x)［(4)から∧の∀x導入］(5)
a∧∀x￢b(x)［(3)と(5)を∧で結合］(6)

必要に応じて加えれば形式的な証明になるはずです。

上に書いたように、普通の数学なら、aがxを持ったら「混乱を招く書き方をするな」ということになるので、そういうのを除外しただけだと思います。