現在小学生の息子がおり、この度知り合いのご兄弟の方に家庭教師をお願いすることになりました。知り合いとはいえお支払いも発生するので契約などちゃんとしておいた方がよいのでしょうか？

そりゃそうした方がいいでしょうね。
相手も安心します。

お知り合いとの関係にもよると思いますが、「約束したことはちゃんとやってね、こっちも払うもん払うから」的な契約書または覚書のような書類は、あまりそぐわないですね。

「基本的にはこんな感じでお願いしたいのですが、何かあったら相談しましょう。」というような内容で、取り敢えず紙に書いておくのであれば良いと思います。

そもそも、契約は書面にしておかなくても口頭でも成立しますので、実行するのに難しい内容や誤解が生じるようなものでなければ、何もなくても大丈夫です。先方さんが欲しいと言われてから考えたら如何でしょうか。