大至急で分かれば教えて頂きたいのですが、ネットワークディスクのハードディスクの引っ越しで、容量はそう多くないものの、ファイル数がやたらとあって時間が物凄く掛かるものがあるのですが、これらを素早く引っ越しさせる方法などあるでしょうか？

小さいファイルが大量に入っている NAS のデータコピーを速くすることは困難ですがが、少しでもマシにする方法として以下のような工夫が考えられます。

1. FastCopy のようなファイルコピー高速化ソフトを使うことで多少改善できる可能性があります。
2. もし事前準備の時間を別に取れるようであれば、小さいファイルが沢山入っているフォルダーを1つの ZIP ファイル等に予めまとめておくことで、コピー時間の短縮は期待できます。(ただし事前準備の時間を加えるとトータルではより時間がかかります)
3. (おそらくそうではないだろうとは思いますが) もし NAS がネットワーク的に遠い場所にある場合 (インターネット越し等) であれば、ネットワーク的に近い場所 (同一 LAN 内) で接続することで改善できる可能性があります。