日本気象協会とウェザーニュースの週間天気予報（1週間後）が食い違う場合，どちらを信頼すべきか，判断方法があれば，教えていただきたく存じます．

ついで情報なのでコメント欄のほうに書きますが、ウェザーニュースの場合は天気アイコンだけでなく文字による「予報士コメント」も参考にするとよいでしょう。
アプリ版はピンポイント天気画面の「予報士コメント」というボタンで、Web版は「今日明日」タブや「10日天気」タブから、今日 (夜間は明日) の天気と1週間の天気それぞれでのコメントを読むことができます。
アイコンだけではつたえきれない情報 (よくテレビの天気予報でいう画面表示なしで口頭のみでつたえられる情報 : 「曇りアイコンだけど小雨 (折りたたみ傘が必要) の可能性」や「朝晩と昼での気温の変化のしかた」など) が掲載されていますので、アイコンや数字だけでなく、ニュアンスも含めて判断してみてください。
ただし、遠い日の天気はどの天気サービスでも当たりにくいですので、参考程度にしましょう。

ちなみに、2番回答で紹介されている「気象庁」については、1週間の天気の当たりやすさを1日ごとに「A」「B」「C」で表示しており、そのうち気象庁が「C」ランクで表示している日の予報は他サービスとアイコンや数字がことなる可能性がやや高い、当日までに予報が変化する可能性もやや高いため、その日は参考程度の情報にしておき、その日にむけた準備をする場合はアイコンが数字が変化する可能性もふくめた準備 (例 : 晴れアイコンでも気温の数字が高くても折りたたみ傘や上着などをいれておいたりなど) をしておくのがよいです。世の中なにがおこるかわかりませんので、あらゆる可能性にそなえておくというのは防災の観点にも通じるものがありますね。