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高校数?Cを復習しています。媒介変数tを使って、X=f(t),Y=g(t)で表されるX,Yについて、2階(あるいは2次)導関数についての質問です。dY/dt=g'(t),dX/dt=f'(t)としますと、1次導関数dY/dX=(dY/dt)/(dX/dt)=g'(t)/f'(t)=g'/f'(と略記)となると思います。ある方から、問題の2階導関数は、d^2Y/dX^2=d{(dY/dt)/(dX/dt)}/dt(?)と教わり、これをf,gで書き換えると、上式=d(g'/f')/dt=(g''f'-g'f'')/(f')^2。一方「媒介変数微分」で検索すると、例えばhooktail.maxwell.jp/bbslog/11117.html や
okwave.jp/qa/q1858395.htmlなどのサイトを見ますと、d^2Y/dX^2=[d{(dY/dt)/(dX/dt)}/dt][dt/dX]=d{g'/f'}/dt]/f'=(g''f'-g'f'')/(f')^3 になるように思います。どちらが正しいのでしょうか?


●質問者: わにかめ78
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● yo-kun
●50ポイント

正しいのは後者です。

>d^2Y/dX^2=d{(dY/dt)/(dX/dt)}/dt(?)と教わり
これが間違っています。

d^2Y/dX^2とはd(dY/dX)/dXのことなのですから
d^2Y/dX^2=d{(dY/dt)/(dX/dt)}/dXとならねばなりません。


2 ● rsc
●50ポイント

f^{¥prime}=f^{¥prime}(t)=¥frac{dX}{dt},

g^{¥prime}=g^{¥prime}(t)=¥frac{dY}{dt},

Y^{¥prime}=y=¥frac{dY}{dX}=¥frac{g^{¥prime}}{f^{¥prime}}
とすると、
¥frac{d^{2}Y}{dX^{2}}=¥frac{d}{dX}(¥frac{dY}{dX})=¥frac{dy}{dX}=¥frac{¥frac{dy}{dt}}{¥frac{dX}{dt}}=¥frac{¥frac{1}{dt}(¥frac{g^{¥prime}}{f^{¥prime}})}{f^{¥prime}}=¥frac{¥frac{g^{¥prime¥prime}f^{¥prime}-g^{¥prime}f^{¥prime¥prime}}{f^{¥prime2}}}{f^{¥prime}}=¥frac{g^{¥prime¥prime}f^{¥prime}-g^{¥prime}f^{¥prime¥prime}}{f^{¥prime3}}
∴後者が正しいと思います。

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