筆箱の素材によると思います｡
布ならぬるま湯より少しあったかいのにつけて
墨をふやかして取ることもできることがありますが｡
歯磨き粉で擦るのは結局表面を研磨しているので､
すみと一緒に表面も落ちる可能性もありますね｡

先ず､筆箱の材質を教えてください｡
おそらく布製だと思いますが､もしそうなら材質が問題になります｡
ﾎﾟﾘｴｽﾃﾙなどの丈夫な素材なら荒技が使えます｡

http://sentaku-shiminuki.com/shiminuki/prp-02-sumi.html
http://eco.goo.ne.jp/life/eco/shuhu/hamidasi2/oct01_simi.html

或いは煮洗いするという手もあります｡
具体的にはお鍋にお湯を沸かして洗剤を入れ､汚れたものを煮るのです｡
加減が素材によって微妙に異なるのでｺﾚは他の手段が駄目だった時の選択になる｡
なるべく早く｢できれば乾かないうちに処置する｣のが最善です｡