面倒だけどy=e^xの微分はy'=e^x,
y=kx^0.5の微分がy=0.5kx^(-0.5)
ここで共通点で共通接線を持つのはそこでの傾きが等しい時

つまり
｛e^x=kx^0.5,e^x=0.5kx^(-0.5)}を満たせば良い
ここからx^0.5=0.5x^(-0.5)→x=0.5,
e^0.5=k*0.5^0.5→k=(2e)^0.5=√(2e)