4年ほど前にこちらで質問して解決できなかった困りごとなのですが､ｱｲﾃﾞｱあれば教えていただきたいです｡｢Gmailﾀﾌﾞを閉じたときに､自動的にGmailをLOGOUTしたい｡｣…

1. IE Tabを使う(要検証)

IE Tabは見た目がﾀﾌﾞなだけで､実際はIEという別ﾌﾟﾛｾｽですから､(他でIEを使ってなければ)IEのﾀﾌﾞを閉じるとﾌﾟﾛｾｽが終了して､ｾｯｼｮﾝｸｯｷｰも破棄されると思います(firefox使ってないので検証はしていません｡またIE Tab Plusなど､ｸｯｷｰを共有できるのもあるらしいです)
http://q.hatena.ne.jp/1143409628#a506551
ただ､別でIEが動きっぱなしだった場合､ﾀﾌﾞを閉じただけではｾｯｼｮﾝ破棄はされないかもしれません｡

2. 別ﾌﾞﾗｳｻﾞ使う

ﾀﾌﾞにこだわらなければ､使ってない別のﾌﾞﾗｳｻﾞ使って､終わるときはﾌﾞﾗｳｻﾞごと終われば良いと思います｡
見た目以外は1と同じ方法ですね｡ほかで開いているｳｨﾝﾄﾞｳがあるのを忘れてたら､ｾｯｼｮﾝが残ってしまうのも同じです｡

3. ｼｰｸﾚｯﾄｳｨﾝﾄﾞｳ､ﾌﾟﾗｲﾍﾞｰﾄｳｨﾝﾄﾞｳを使う

2とほとんどど同じですね｡それに加えて､間違ってﾊﾟｽﾜｰﾄﾞやｸｯｷｰを保存してしまう事もないし､履歴も残りません｡
ただ､やはりｼｰｸﾚｯﾄｳｨﾝﾄﾞｳはすべて閉じないと破棄されません｡どれか一つでも残ってると残ります｡

4. ﾛｸﾞｱｳﾄする

なんだかんだ書きましたけど､閉じ忘れとか､うっかり保存とか､ﾐｽはしてしまうものなので､ｳｪﾌﾞ上でﾛｸﾞｱｳﾄしてしまう方が確実だし､簡単なような気がします｡

5. ﾊﾟｿｺﾝの別ﾕｰｻﾞで

閉じ忘れ､うっかり保存とかもありますが､ﾛｸﾞｱｳﾄし忘れだってあります｡3と4の複合である程度防げますが､いっそPCに別ｱｶｳﾝﾄを作ってしまう方法もあります｡
これならｸｯｷｰとか心配せずにすみますし､個々に別ｱｶｳﾝﾄであれば､ﾃﾞｽｸﾄｯﾌﾟとか思い思いにできます｡まあ､お子さんの場合､きっちり分けると自由にできる分､心理的に羽を伸ばしやすいとか､何やってるか見え難くなるとかはありますが｡
gmail読むときだけ別ｱｶｳﾝﾄという手もありますが､それなら4のﾛｸﾞｱｳﾄの方が手軽です｡ただ､ｽﾊﾟｲｳｪｱとか､ﾊﾟｽﾜｰﾄﾞが漏れるﾘｽｸが減るって利点はあるかもしれません(話題ずれてますが)｡

お使いになっているﾌﾞﾗｳｻﾞ全てでGmailの閲覧をされているのでしょうか？
もしそうしているのであれば､まずそれをやめた方がいいような気がします｡

そして､自分しか使わない(使えない)ﾌﾞﾗｳｻﾞをｲﾝｽﾄｰﾙして､そのﾌﾞﾗｳｻﾞでのみGmailを開くようにすればいいのではないでしょうか｡

例えば､最近更新が止まっていますが､
ScriptBrowserK http://www.scriptbrowserk.com/
このﾌﾞﾗｳｻﾞは起動時やｻｽﾍﾟﾝﾄﾞ後の再開時にﾏｽﾀｰﾊﾟｽﾜｰﾄﾞを入れないと使えないという機能を搭載しています｡
http://www.scriptbrowserk.com/help/5140OptScrAutoFil.html

他にも､
Simple Startup Password
http://webiitoko.blog42.fc2.com/blog-entry-409.html
Chromeの拡張ですが､互換ﾌﾞﾗｳｻﾞ(IronやCoolNovoなど)でも使えますので､例えばIronを自分専用のﾌﾞﾗｳｻﾞにして､そこでﾊﾟｽﾜｰﾄﾞ設定するという方法です｡
ただ､こちらの場合は起動時のみのﾏｽﾀｰﾊﾟｽﾜｰﾄﾞなので､ﾀﾌﾞを閉じるのではなくﾌﾞﾗｳｻﾞを終了させないといけませんが…

さらに､もっと割り切って､Gmail専用ﾌﾞﾗｳｻﾞを使うという手もあります｡
http://d.hatena.ne.jp/Lowrence/20090913/1252851362
http://www.moongift.jp/2007/11/gmail_browser/

いずれにしても､他の人も使う可能性のあるﾌﾞﾗｳｻﾞではGmailを見ないようにする､というのが手っ取り早い解決策かと思います｡