iPhone の場合、プッシュ通知が来ても配信及び録画は停止しません。*1ドコモなどアンドロイド端末の動作は分かりません。申し訳ございません。
*1:着信通知がプッシュ通知ならばです。プッシュ通知では無い場合は多分一時的に停止してしまうと思います。