この動画を投稿されてる方が使ってるのはSAIみたいですね｡
主にﾍﾟｲﾝﾄｿﾌﾄやﾍﾟｲﾝﾄﾂｰﾙなんて呼ばれるｿﾌﾄｳｪｱの1つで､
その中でも特に人気があるようです｡
こちらのSAIは有料ｿﾌﾄですが､他にもﾌﾘｰで使えるものがいくつかありますよ｡

ちなみに､有料でも無料でもｲﾝｽﾄｰﾙは基本的に必須です｡
(中にはﾀﾞｳﾝﾛｰﾄﾞのみですぐに使えるｿﾌﾄもありますが)

主流なﾍﾟｲﾝﾄﾂｰﾙはこんな感じですかね｡
こちらのﾘﾝｸ先を参考にどうぞ｡

http://sai-wiki.seesaa.net/article/133121809.html
http://www.gigafree.net/tool/paint/

無料で使えるものの中ではPixiaが使いやすく､人気もあるみたいです｡
講座ｻｲﾄなんかも色々ありますので検索してみると良いですよ｡