質問者さんのご家族のご苦労は大変なものだろうと思います｡
私も実父(既に他界しています)が脳疾患型認知症とｱﾙﾂﾊｲﾏｰ型認知症を併合して煩い､家庭内介護を経験致しました｡

その際に色々ﾈｯﾄを使って病院や介護保険について調べましたので､私の知る範囲内でお答え致します｡

認知症対応介護施設･病院を探す前提条件として､介護認定と認知症のﾚﾍﾞﾙの確認､認知症以外の疾患についての情報を把握する事が必要です｡
また､介護施設に入所する際は､要介護者の収入や財産で入れる施設が変わりますので､その点も考慮に入れてください｡
(収入･財産が多ければ民間の介護施設(それも高料金)に優先的に入る事も可能です｡ 介護保険で賄える介護施設は入所に際して認知症の重症度(長谷川式簡易知能評価ｽｹｰﾙなど)や疾病状態､家族の状況(介護者がいるかどうか)などが入所順位を決める要素になります｡)

?他の病院を探す良い方法(その病院では他病院の紹介はしてくれません｡しないと言われました｡行政に相談しましたが､あまり反応はありません｡)

各都道府県庁の健康福祉部(東京都は福祉保健局)のHPに認知症対応部署がありますので､そちらで認知症対応病院･介護施設を調べる事ができます｡

例)

･かがわの認知症 高齢者支援ｻｲﾄ(香川県健康福祉部長寿社会対策課)
･認知症対策(健康福祉部高齢者福祉課在宅福祉推進室)
･とうきょう認知症なび(東京都福祉保健局高齢社会対策部在宅支援課)

介護施設については､WAMﾈｯﾄ(福祉医療機構が運営する､福祉･保健･医療の総合情報ｻｲﾄ)の｢ｻｰﾋﾞｽ提供機関の情報｣で調べる事ができます｡

?他病院を見つけた際に紹介状を持っていったほうがいいのか(現状の紹介状を持って行かないほうが､違う判断をされて入院させやすいのではと考えるため｡ 一刻も早く入院させたいと考えています｡)

現在受診している病院から別の病院を紹介してもらう事は可能です｡
その際には､検査ﾃﾞｰﾀ･ﾚﾝﾄｹﾞﾝ写真などを借りておいてください｡
(診察前に､検査ﾃﾞｰﾀとﾚﾝﾄｹﾞﾝ写真､紹介状を持っていって､実際に受診･入院が可能かどうかを病院に確認する事をお勧めします｡)

質問者さんは認知症だから精神病院(認知症対応病院)への入院を考えているみたいですが､認知症治療で入院できる期間はそんなに長くはありません｡
(高齢者長期入院は､健康保険制度の関係で90日までという制限を設けている病院が大多数です｡)
病院以外にも､老人保健施設･特別養護老人施設等の介護施設もあります｡

質問文を読むとお祖父様の介護で､ご家族の心労は並大抵の事では無いと思います｡
しかし､お祖父様を精神病院へ入院させればそれで終わりではありません｡
認知症は､徐々に人間らしさを失う病気ではありますが､治療や介護､家族の協力により認知症の進行を遅らせる事ができます｡
どうぞ､お祖父様を大切になさって下さい｡

すみません､言葉足らずだったのですが､回答者さんが紹介してくださったような地元行政のHPなどからﾘﾝｸしている福祉施設については､すでに総当りしましたが､あまり役にたちませんでした･･･
地域は北海道です｡

福祉施設ではだめですよ｡精神病院でないと｡受診できそうな精神病院を探してみましょう｡入院施設がないｸﾘﾆｯｸでもいいです｡そこで診察してもらえればそこから入院施設を探してもらえることもあります｡また､病院によってはｹｰｽﾜｰｶｰとかｿｰｼｬﾙﾜｰｶｰという人がいますので､相談に乗ってくれそうなそういう人を見つけるという手もあります｡(各病院の受付で聞くと相手にしてもらえるかどうかわかります｡)自分の病院がいっぱいなのによそを紹介したいという病院は入院できたとしてもいいのかな？と思います｡