クリックの意味は「ポチっとする(させる)」、プッシュの意味は「押す」です。
コンピューターのボタンはクリックでもプッシュでもまあ通じますが、クッションやドアをクリックすることはできません(音がしない動作)。それはプッシュだけです。
こうみていくとプッシュのほうが広いようですが、コンピューター周りでは意味の狭いクリックのほうが正しく通じやすいのです。お互いにちょっとずれている言葉だとおもいます。
ちなみにボタン類を長押しするのはクリックでもプッシュでもなくホールドholdということもあるようです。