ブラウザはなに?まあ、大体同じですけど。
http://windows.microsoft.com/ja-jp/internet-explorer/fill-in-forms-remember-passwords-autocomplete#ie=ie-11
https://support.mozilla.org/ja/kb/usernames-and-passwords-are-not-saved
https://support.google.com/chrome/answer/2633237?hl=ja
この辺がチェックポイントかと思います。
たまにサイトが禁止してる所もありますね。はてなは禁止していませんがどうでしょう?
あと、アドオン・拡張の影響もありえますのでセーフモードの様にそれらを停止した場合も確認してみてください。