紙をとじるｽﾃｰﾌﾟﾗｰをﾎｯﾁｷｽ､ｾﾛﾌｧﾝﾃｰﾌﾟをｾﾛﾃｰﾌﾟ､油性ﾏｰｶｰをﾏｼﾞｯｸ､絆創膏をﾊﾞﾝﾄﾞｴｲﾄﾞだのｷｽﾞﾊﾞﾝだのｻﾋﾟｵ(地方により違う)と呼ぶのは､どれも､最初は企業が特許庁に登録した商標が由来です｡
ｾﾘｰﾄは､ｸﾛｽ(素材)としての商標は昭和42年から｢ｾｰﾚﾝ株式会社｣､眼鏡の付属品としての商標は昭和58年に栄商会というところがそれぞれ商標を取得し､いまだにその権利が存続しています｡https://www.j-platpat.inpit.go.jp/ で無料にて調べられます｡
この2つの会社に聞きに行けば､どのような広まり方をしたかがわかるでしょう｡おそらく､最初はｾｰﾚﾝが栄に眼鏡ふき用の不織布などを卸していたのでしょう｡

商標は分野が違えば別ものとして扱うので､ｾﾘｰﾄ素材をつかわなくてもｾﾘｰﾄ眼鏡ふきと呼んで売るようにしても､違法行為ではないです｡三味線拭きとして､現状市場に売られているものがあるならば､それはｾｰﾚﾝだけの製品だろうとおもいます｡しかし眼鏡ふきとして売られているものを買ってきて個人的に三味線につかっても違法行為ではないので微妙です｡

ｶﾀｶﾅでの登録なので､英語つづりはありません｡ｼﾙｸの鞘をなす成分であるｾﾘｼﾝﾀﾝﾊﾟｸ＋糸からの派生語かもしれません(ｾﾘｼﾝのついたｼﾙｸを紡績しているなら天然別珍でもあり加工法によっては人工素材でもあり得ます)が､命名者が訂正しないままひろまってわけがわからなくなっている可能性もあります｡
不使用商標は､商標取り消し審判の対象になる場合もありますが､個人的に一般名詞化しているように見えるというだけではこの手続きはできないでしょう｡

ちなみに現状ひろまっているﾏｲｸﾛﾌｧｲﾊﾞｰ眼鏡ふきを開発したのは帝人だそうです｡ｼﾙｸによくにた鞘構造からつくるﾎﾟﾘｴｽﾃﾙだそうですが､帝人はその事業を早めに外部に手放してしまったとかいううわさです｡商標(＝ﾌﾞﾗﾝﾄﾞ名)は事業とともに売り買いされる場合があります｡

回答 No.1 の なぽりん さんが｢ｾｰﾚﾝ株式会社｣と｢栄商会｣の2つに絞り込んだので､後はどちらの可能性が高いかの問題だろうと思っていたのですが､その先に踏み込まれないようなので回答させていただきます｡

ご質問の｢ｾﾘｰﾄ｣は素材の名称ではなく､栄商会が別珍で作ったﾒｶﾞﾈ拭きの商品名であると思われます｡

栄商会の公式ｻｲﾄ の中に次のような記述があります｡

1953年(昭和28年) ｾﾘｰﾄ､ﾚﾝｽﾞﾍﾟｰﾊﾟｰ本格生産(ｵﾌﾟﾄ業界進出)

会社沿革｜栄商会(静岡県浜松市)

公式ｻｲﾄには詳しい記述は見当たりませんが､栄商会は静岡県浜松市の企業であり､静岡県公式ﾎｰﾑﾍﾟｰｼﾞの中に栄商会を扱った記事がありました｡

ﾒｶﾞﾈ拭き発売開始以来60年以上にわたって､一貫してﾒｶﾞﾈ関連製品の製造販売を行っている｡磐田市福田地区の特産品である別珍を使用したﾒｶﾞﾈ拭きは､｢ｾﾘｰﾄ｣という商品名を商標登録して､ﾋﾟｰｸ時には全国ｼｪｱ75％を誇り､｢ｾﾘｰﾄ｣といえばﾒｶﾞﾈ拭きのことをいうほどにまで成長した｡

静岡県／【しずおかの元気な企業】2709株式会社栄商会

(強調引用者)

栄商会のｻｲﾄにあるｾﾘｰﾄの製造開始は昭和28年､商標登録は昭和58年であり､30年間のｷﾞｬｯﾌﾟがあるので､｢ﾋﾟｰｸ時｣というのがいつ頃を指すのかが不明瞭ですが､少なくとも昭和58年以降には｢ｾﾘｰﾄはﾒｶﾞﾈ拭きの代名詞｣という状況だったのでしょう｡

｢磐田市福田地区の特産品である別珍｣という記述についてですが､磐田市の公式ｻｲﾄによれば､別珍を作り出したのは福田地区の寺田市十(てらだいちじゅう)氏だったそうです｡

寺田市十(てらだいちじゅう)は｢新しくきれいな布｣を目指し､織り方の研究を進めました｡明治43年頃､製織後の剪毛(せんもう)などの障害を克服し､｢新しくきれいな布｣･別珍の製造に成功しました｡ その後､福田は別珍･ｺｰﾙ天の国内最大の産地として知られるようになりました｡

磐田文化財だより 第36号｜磐田のみどころ｜磐田市役所

なお､ｾｰﾚﾝ株式会社ないし関連会社が｢ｾﾘｰﾄ｣という名称の商品を出したという形跡は､ﾈｯﾄで検索した限りでは見つからなかったという事を申し添えます｡

残る問題は､｢ｾﾘｰﾄ｣の語源(商品名としても､そもそもどういう意味なのか)および英語表記の有無ですが､上記した栄商会の公式ｻｲﾄにﾌﾘｰﾀﾞｲﾔﾙとﾒｰﾙｱﾄﾞﾚｽが記載されていますので､直接お問い合わせいただくのが早いと思います｡
(この点も栄商会に確認した上で回答しようかとも考えましたが､質問の締切が10/24だったので､土日を挟んで間に合わない可能性を考えて断念しました)

以上､ご参考になれば幸いです｡