福岡で（できれば福岡市内）、写真をマグカップに印刷してオリジナルを作成してくれるお店はないでしょうか？

ここは如何でしょうか？

天神のインキューブ内にあるデザインキューブでやっていますよ。

オリジナルというよりディズニーなどになってしまいますが、フジカラーキャラクタープリントを利用してはいかがでしょう。おそらく最寄のプリントショップで入手できるでしょうし、何かあれば問合せ先として福岡営業所 福岡市南区塩原1-3-25があります。

ご希望のことができる、リコーフォトネットというのがあったのですが、アクセスできなくなってました。なくなってしまったのかもしれません。

その他、ネット系のお店でしたらたくさんあると思います。

インキューブの詳細です。価格表などもあります。

福岡で探したのですが見つけられませんでした。京都の会社ですが・・・もちろんネット通販OKです。