地球上のある経緯度の点から、半径XXXmの円を書いたとした時、その円に外接する経度(2本)を求める式があるサイトがあれば教えてください。

(URLはダミーです)

地球を半径Rの真球だと仮定して解いてみました。

ある経緯度の点をXとし、この緯度をφとします。

描いた円の半径をrとします。（球面上に沿って測った半径とします）

北極・南極を通り、この円に接する平面（のうち１つ）をαとします。

また、北極・南極・点Xを通る平面をβとします。

与えられた問題は、平面α・βのなす角θを求めることです。

（θが求まれば、答えは点Xの経度±θとなる）

さらに、描いた円を通る平面をγ、赤道を通る平面をδとします。

点Xと地球の中心Oを通る直線と、γの交点を点Aとします。

また、描いた円とαの接点を点Bとします。

まず、角AOBを求めると、この角に対する弧の長さがrであり、BO=Rであるので,

角AOB = r/R　(以下、単位はラジアン)

したがって、AO = R cos(r/R)

平面α・β・γの交点をCとすると、角CAOは直角であることから、角ACO = φ

したがって、CO = R cos(r/R)/sinφ

また、CA = R cos(r/R)/tanφ

平面β・γ・δの交点をDとすると、

OD = CO tanφ = R cos(r/R)/cosφ

CD = CO/cosφ = R cos(r/R)/(cosφsinφ)

一方、三角形AOBを考えると、AB = R sin(r/R)

角ACBをρとすると、sinρ = CA/AB = tanφ tan(r/R)

平面α・γ・δの交点をEとすると、

DE = CD tanρ = R (cos(r/R)tanρ)/(cosφsinφ)

三角形ODEを考えると、

tanθ = DE/OD = tanρ/sinφ

両辺２乗して、

(tanθ)^2 = (tanρ)^2/(sinφ)^2 = ((sinρ)^2/(1-(sinρ)^2))/(sinφ)^2

= (tanφ tan(r/R))^2/(1-(tanφ tan(r/R))^2)/(sinφ)^2

= (tan(r/R))^2/((cosφ)^2-(sinφ)^2(tan(r/R))^2)

これを満たすθが求めるθとなります。

（図がなくてわかりにくくてすみません）