VisualBasicで作ったソフトウェアをIE上で稼動させることはできますか？

可能です。

まず、VB上からFindWindowなどのAPIを用いて起動しているInternet Explorerを見つけ、HWNDからIWebBrowserを取得します。もしくはIWebBrowserのインスタンスを生成してIEを起動します。

IWebBrowserを取得したら、IHTMLDocument2を取り出します。これが取り出せたら、後はput_innetHtml（innerHtml）などの関数などによってHTMLコードなどをIEへ流し込めるようになります（つまり画面内に表示できるようになります）。

実現するためにはCOM関連（IEコンポーネント関連）のスキルが必要になります。

ASPではダメですか？

「本体自体は全てVBで、ただ単に独立したアプリケーションを～」

ってのだけ見ると、Javaアプレットだったり、Flashとかでないと無理だと思いますが・・。