UNIX系OSで2台のMySQLサーバーを動かしています。

3.23.15以上であれば、レプリケーションを使うのが最も簡単かと。この場合、サーバーAは読み書き可能で、サーバーBは読み取り専用もしくはバックアップ用、という感じになります。

私も実はズブのしろうとなのですが、1つ知っているのはこのサイト。SQLサーバーのユーザー同士でいろいろ情報交換しているサイトです。ここで検索すればいろいろと情報が入ると思います。お役にたちましたでしょうか？

希望される動作に関しては、MySQLにある「レプリケーション」機能を用いることによって実現させることができます。

上記URLでは、設定のためのコマンドについて詳細が書かれています。

レプリケーションの仕組みや可能なこと、不可能なことなどを、図を用いて説明されているページです。

参考までに、MySQLマニュアルの該当部分です。