百の位がa十の位がb一の位がcである3桁の自然数Mがある。N=a+b+cとし、MがNで割り切れるとき、M/Nの最大値・最小値を求めたい。答えの最小値11（M=198）最大値100(M=100の倍数)は計算していけば、分かるのですが、一般的な証明が知りたいのです。

めんどくさい方法ですが，微分で解く方法があります。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

1≦a≦9

0≦b≦9

0≦c≦9

ここで，b,cを定数と見なし，変数aについて式と見なす。

f(a) = 100a+10b+c/a+b+c

f’(a) = 100(a+b+c)-(100a+10b+c)/(a+b+c)^2

= 90c+99c/(a+b+c)^2>0

であるから、最小値はa=1のときで、最大値はa=9のときである。

また、b=c=0のときはf’(a)=0であり、f(a)=100a/a=100である。(a=1...9)

次に，a=1のとき、変数bについての式をG(b)、a=9のとき、変数bについての式をg(b)とすると、

G(b) = 100+10b+c/1+b+c

G’(b) = 10(1+b+c)-(100+10b+c)/(1+b+c)^2

= -90+9c/(1+b+c)^2<0

であるから、最小値はb=9のときである。

G(9) = 190+c/10+c=1+180/10+c

よって、最小値はc=9のとき、つまり、M=199のとき、最小値199/19=10+9/19<11

また、

g(b) = 900+10b+c/9+b+c

g’(b) = 10(9+b+c)-(900+10b+c)/(9+b+c)^2

= -810+9c/(9+b+c)^2<0

であるから、最大値はb=0のときである。

g(0) = 900+c/9+c=1+810/9+c

よって、最大値はc=0のとき、つまり、M=900のとき、最大値900/9=100

ここでb=0、c=0のとき、上記のことより，a=1...9のいずれでも最大値100を満たす。

以上より，

・最大値　100(M=100,200,300,400,500,600,700,800,900)

・最小値　10+9/19(M=199)

また、最大，最小の整数値を求めるならば，10+9/19よりも大きい最初の整数11が存在しうるか実際に計算してみれば良い。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

こんなものです。あまりスマートではないですが，誰でも簡単に解ける方法です。

次のように表す。

M = 100a+10b+c

N = a+b+c

3桁の数なので、1≦a≦9, 0≦b≦9, 0≦c≦9.

M/N = (100a+10b+c)/(a+b+c)

　　= 1 + (99a+9b)/(a+b+c)

　　= 1 + 9 (11a+b)/(a+b+c)

　　= 1 + 9 { (a+b+c) + 10a-c }/(a+b+c)

　　= 1 + 9 { 1 + (10a-c)/(a+b+c) }

　　= 10 + 9(10a-c)/(a+b+c).

条件より、10a-c≧1，a+b+c≧1．よって、(10a-c)/(a+b+c)≧0.

これと、割り切れるという条件から、

9(10a-c)/(a+b+c) の最小値 = 1.

● 9(10a-c)/(a+b+c) = 1

(10a-c)/(a+b+c)=1/9

90a-9c=a+b+c

89a-b=10c.

これを満たす (a,b,c) があるか、しらみつぶしに探すしかないんだけども、

89×1ー9＝10×8

で、(a,b,c)=(1,9,8) で M/N=11 が得られる。

● 次に、(10a-c)/(a+b+c) の最大値を探す。

ある a に対し、分母最大 ⇔ c=0，分子最小 ⇔ b=0, c=0.

したがって、

(10a-c)/(a+b+c) の最大値は、10a/a = 10.

a が約分されて消えてしまうので、a の値は 1～9 のどれでもよく、

M/N ＝ 10＋9×10 ＝ 100.