自分が所属している三味線の会の家元に年賀状を出すのですが、敬称はどうするのが正しいのでしょうか？今までは、名前の後に『御家元』と入れていましたが間違ってますか？

普段あなたはその方を何と呼んでいらっしゃるのでしょうか？

もし名前で呼んでいるなら「様」

「先生」と呼ぶのなら「先生」が適当では？

会社で言えば「家元」は役職だと思います。

屋号や名前がその後ろに続き、敬称は「先生」または「様」でよいのではないですか？

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通常は「先生」か「様」が一般的です。2の方が言われたように、「家元」というのは会社で言えば、部長や課長のような役職みたいなものです。

分かりやすい例で言えば部長の自宅に年賀状を出す場合、○○部長とは書かないのと同じです。ただ取引先に出す場合は、「○○株式会社　△×部長様」と書く場合があります。

御家元で良いと思う。

目立つ効果狙いで「御師匠様」はどうでしょう。

芸事では先生ではなく、「師匠（ししょう）」と呼ぶと一枚上。