ディジタル信号処理において相互相関関数を利用して二つの信号の類似度を測定する方法があると思うのですが、相関関数の数学的原理や基本などが参照できる文献、書籍、URLを提示していただけると助かります。特にディジタル画像処理の分野と関連した内容を希望しています。二つの画像の類似度を測定するのに使用されていると思うのですが、相互相関関数とはどの様な計算なのか、計算する事によってどの様に値が得られるのか、また得られた値は何を意味するのか、このへんの事が詳しく参照できると助かります。また高速フーリエ変換を使用する方法もあると思うのでそちらも合わせてお願いいたします。よろしくお願いいたします。

あまり入門的な記事を見つけられなかったんで１から書いてみます。

同じ歌を録音した二つの音声ファイルがあり、中身が同じ歌だと示したいとします。

単に波形を比べるだけだと、ボリュームが違ったり録音開始時刻が違ったりするので同じかどうか分かりません。ボリュームについては最大値と最小値が同じ程度になるように一方を何倍かすればいいですが、時刻のずれはどうすればいいでしょうか。

一つの方法として、データをm個だけずらして比較してみて、あらゆるmについて手当たり次第に調べれば、どれか一つでよく一致するはずです。

似ている度合いを調べるには、データをずらして平均を０にするといいです。そうしてずらしたデータ列をA0,A1,A2,...とB0,B1,B2,...とします。似ている度合いは

S0=A0*B0+A1*B1+A2*B2+...で評価できます。Aが大きい値のときBも同じ符号で大きい値であればS0は大きくなり、無関係ならば０になります。m個ずらした場合は、

Sm=A0*Bm+A1*B(m+1)+...となります。

さて、いろんなmについてしらみつぶしに調べるのが面倒だ、という場合、簡単に計算する方法もあります。それはSmの二乗を全てのmについて合計したもの

を計算すると、どれかのmで「当たり」がある場合、この合計も大きくなることから判別できます。この合計XはSmより一見計算が大変そうに見えますが、FFTを使うと簡単に計算できます。AとBをFFTを使って変換したものをC(k), D(k)とおきます。するとX=と、一重ループで計算できます。

以上は音声データの場合ですが、画像の場合は同様に原点を左右と上下方向にズラして一致を探すことになります。基本的には同じ計算です。