x+y+z=1
のとき、
x^2+y^2+z^2≧1/3
であることを、簡単でいいので理由付で解説お願いしまっす。
(図形的に捉えるのではなく、数式の変形から導いてくれると嬉しいです)
一般に以下の式が成り立ちます。
x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + zx
詳細はこのページの半ばにあります。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/inequality2.ht...
実数 x、y、z に対して、不等式 x^2 +y^2 +z^2≧xy+yz+zx が成り立つことは、受
験問題集を紐解いた方なら誰でも1度はお目にかかっていると思う。
証明はこの続きに記載されています。
そして、等号が成り立つのは x = y = z のときです。
x + y + z = 1
ですから、等号が成り立つのは
x = y = z = 1/3
のとき。
x^2+y^2+z^2 >= (1/3)^2 + (1/3)^2 + (1/3)^2 >= 1/3
ということになります。
x, y, z が正の実数のとき限定だったら。
x+y+z=1
x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=1
2(xy+yz+zx)=1-(x^2+y^2+z^2)//この式を式A とする
相加平均≧相乗平均 はご存知ですよね?これにより、
(x^2+y^2)+(y^2+z^2)+(z^2+x^2)≧2xy+2yz+2zx
2(x^2+y^2+z^2)≧2(xy+yz+zx)//この式を式B とする
あとは、式B の右辺を式A の右辺に置き換えて計算していくと x^2+y^2+z^2≧1/3 が得られます。
シュワルツの不等式の一つに
(ax+by+cz)^2 ≦ (a^2 +b^2 +c^2)(x^2 +y^2 +z^2)
というのがあり、
a,b,cに1を入れると、
(x+y+z)^2 ≦ 3(x^2 +y^2 +z^2)
x+y+z=1なので
1/3 ≦ (x^2 +y^2 +z^2)
となります。
おおおおありがとう!